Jednadžbe, kodovi, šifre, matematika i poezija

Michal Shurek o sebi kaže: “Rođen sam 1946. godine. Diplomirao sam na Sveučilištu u Varšavi 1968. i od tada radim na Fakultetu matematike, informatike i mehanike. Znanstvena specijalnost: algebarska geometrija. Nedavno sam se bavio vektorskim snopovima. Što je vektorska zraka? Dakle, vektore treba čvrsto vezati koncem, a već ih imamo hrpu. Moj prijatelj fizičar Anthony Sim me natjerao da se pridružim Mladom tehničaru (on priznaje da bi trebao dobivati ​​honorare od mojih honorara). Napisao sam nekoliko članaka i onda sam ostao, a od 1978. svaki mjesec možete pročitati što mislim o matematici. Volim planine i, unatoč višku kilograma, pokušavam hodati. Mislim da su učitelji najvažniji. Držao bih političare, bez obzira na njihove opcije, u strogo čuvanom području kako ne bi mogli pobjeći. Hraniti jednom dnevno. Sviđa mi se bigl iz Tuleka.

Jednadžba je za matematičara poput šifre. Rješavanje jednadžbi, suština matematike, je čitanje šifriranog teksta. To su primijetili teolozi od XNUMX. stoljeća. Ivan Pavao II., poznavatelj matematike, to je napisao i spomenuo nekoliko puta u svojim propovijedima – nažalost, činjenice su mi izbrisane iz sjećanja.

U školskoj znanosti zastupljen je Pitagora kao autor teorema o nekoj ovisnosti u pravokutnom trokutu. Tako je to postalo dio naše eurocentrične filozofije. Pa ipak, Pitagora ima mnogo više vrlina. Upravo je on nametnuo svojim učenicima dužnost da "spoznaju svijet", od "što je iza ovog brda?" prije proučavanja zvijezda. Zato su Europljani “otkrivali” drevne civilizacije, a ne obrnuto.

Neki čitatelji se sjećajuViète uzorcii"; mnogi stariji čitatelji sjećaju se samog pojma iz škole i otprilike činjenice da se pitanje pojavilo u kvadratnim jednadžbama. Ove pravilnosti su “ideološki” šifriranje informacija.

Nije ni čudo jedan Francois Viet (1540.-1603.) bavio se kriptografijom na dvoru Henrika IV (prvi francuski kralj iz dinastije Bourbon, 1553.-1610.) i uspio je razbiti šifru koju su Britanci koristili u ratu s Francuskom. Dakle, igrao je istu ulogu kao i poljski matematičari (predvođeni Marianom Rejewskim), koji su otkrili tajne njemačkog stroja za šifriranje Enigma prije Drugog svjetskog rata.

modna tema

Točno. Tema "šifre i šifre" odavno je postala moderna u nastavi. O tome sam već pisao nekoliko puta, a za dva mjeseca bit će još jedna serija. Ovaj put pišem pod dojmom filma o ratu 1920. godine, gdje je do pobjede uvelike pridonijelo kršenje kodeksa boljševičkih trupa od strane ekipe koju je predvodio tada mladi Vaclav Sierpinski (1882-1969). Ne, to još nije Enigma, to je samo uvod. Sjećam se scene iz filma gdje Józef Piłsudski (glumi ga Daniil Olbrychski) kaže šefu odjela za šifriranje:

Dešifrirane poruke nosile su važnu poruku: trupe Tuhačevskog neće dobiti podršku. Možete napadati!

Poznavao sam Vaclava Sierpinskog (ako mogu tako reći: bio sam mlad student, on je bio poznati profesor), pohađao njegova predavanja i seminare. Odavao je dojam usahlog učenjaka, odsutan, zauzet svojom disciplinom i ne vidi drugi svijet. Predavao je posebno, okrenut prema ploči, ne gledajući u publiku... ali osjećao se kao izvanredan stručnjak. Na ovaj ili onaj način, imao je određene matematičke sposobnosti - na primjer, za rješavanje problema. Postoje i drugi — znanstvenici koji su relativno loši u rješavanju zagonetki, ali koji imaju duboko razumijevanje cijele teorije i sposobni su pokrenuti cijela polja kreativnosti. Trebamo oboje - iako će se prvi kretati brže.

Vaclav Sierpinski nikada nije govorio o svojim postignućima 1920. godine. Do 1939. to se definitivno moralo držati u tajnosti, a nakon 1945. oni koji su se borili sa Sovjetskom Rusijom nisu uživali simpatije tadašnjih vlasti. Moje uvjerenje da su znanstvenici potrebni, poput vojske, dokazano je: "za svaki slučaj". Evo predsjednika Roosevelta koji zove Einsteina:

Izvanredni ruski matematičar Igor Arnold otvoreno je i tužno rekao da je rat imao veliki utjecaj na razvoj matematike i fizike (radar i GPS također su imali vojno podrijetlo). Ne ulazim u moralni aspekt uporabe atomske bombe: evo produženja rata za godinu dana i pogibije nekoliko milijuna vlastitih vojnika – tu je stradanje nedužnih civila.

***

Bježim u poznata područja - k. Mnogi od nas igrali su se šiframa, možda skauting, možda tek tako. Jednostavne šifre, temeljene na principu zamjene slova drugim slovima ili drugim brojevima, rutinski se razbijaju ako uhvatimo samo nekoliko tragova (na primjer, pogodimo kraljevo ime). Danas pomaže i statistička analiza. Još gore, kad je sve promjenjivo. Ali najgore je kad nema pravilnosti. Razmotrite šifru opisanu u Pustolovinama dobrog vojnika Švejka. Uzmite knjigu, na primjer, Potop. Evo prijedloga na prvoj i drugoj stranici.

Želimo kodirati riječ "CAT". Otvaramo na stranici 1 i sljedećoj sekundi. Nalazimo da se na stranici 1 slovo K prvi put pojavljuje na 59. mjestu. Pedeset devetu riječ nalazimo na suprotnoj, s druge strane. Riječ je o "a". Sada slovo O. Na lijevoj strani je 16. riječ, a šesnaesta s desne strane je "Mr." Slovo T je na 95. mjestu, ako sam dobro brojao, a devedeset i peta riječ s desne strane je "o". Dakle, MAČKA = 1 LORD O.

Šifra koja se ne može pogoditi, iako bolno spora i za enkripciju i za nagađanje. Pretpostavimo da želimo prenijeti slovo M. Možemo provjeriti kodiramo li ga riječju "Wołodyjowski". A nakon nas već pripremaju zatvorsku ćeliju. Možemo računati samo na zamjenu! Osim toga, protuobavještajne službe bilježe izvješća tajnih zaposlenika da već neko vrijeme kupci voljno kupuju prvi svezak Potopa.

Moj je članak doprinos ovoj tezi: čak i najbizarnije ideje matematičara mogu naći primjenu u široko shvaćenoj praksi. Na primjer, je li moguće zamisliti manje korisno matematičko otkriće od testa djeljivosti s ... sa 47?

Kada nam to treba u životu? A ako je tako, bit će lakše pokušati ga odvojiti. Ako dijeli, onda je dobro, ako ne, onda ... sekundarno je dobro (znamo da ne dijeli).

Kako podijeliti i zašto

Nakon ovog uvoda prijeđimo na.Poznajete li vi čitatelji neke znakove djeljivosti? Definitivno. Parni brojevi završavaju s 2, 4, 6, 8 ili nulom. Broj je djeljiv s tri ako je zbroj njegovih znamenki djeljiv s tri. Slično je i sa znakom djeljivosti s devet - zbroj znamenki mora biti djeljiv s devet.

Kome to treba? Lagao bih kad bih uvjerio Čitatelja da je dobar za bilo što osim za... školske zadatke. Pa, i još jedna značajka djeljivosti s 4 (a što je to, Čitaoče? Možda ćete je upotrijebiti kada budete željeli znati u koju godinu pada sljedeća olimpijada...). Ali značajka djeljivosti sa 47? Ovo je već glavobolja. Hoćemo li ikada znati je li nešto djeljivo sa 47? Ako da, onda uzmi kalkulator i vidi.

Ovaj. U pravu si, Čitaoče. Pa ipak, čitajte dalje. Molim.

Djeljivost sa 47: Broj 100+ djeljiv je sa 47 ako i samo ako je 47 djeljiv sa +8.

Matematičar će se zadovoljno nasmiješiti: "Joj, lijepo." Ali matematika je matematika. Dokazi su važni, a mi obraćamo pozornost na njihovu ljepotu. Kako dokazati svoju osobinu? Vrlo je jednostavno. Oduzmite od 100 + broj 94 - 47 = 47 (2 -). Dobivamo 100+-94+47=6+48=6(+8).

Oduzeli smo broj koji je djeljiv sa 47, pa ako je 6 (+ 8) djeljivo sa 47, onda je i 100 +. Ali broj 6 je relativno prost sa 47, što znači da je 6 (+ 8) djeljivo sa 47 ako i samo ako je + 8. Kraj dokaza.

Da vidimo Neki primjeri.

8805685 je djeljivo sa 47? Zanima li nas baš to, saznat ćemo prije samo tako što će nas podijeliti kako su nas učili u osnovnoj školi. Na ovaj ili onaj način, sada u svakom mobitelu postoji kalkulator. Podijeljeno? Da, privatni 187355.

Pa, da vidimo što nam govori znak djeljivosti. Odspojimo posljednje dvije znamenke, pomnožimo ih s 8, dodamo rezultat na "skraćeni broj" i učinimo isto s rezultirajućim brojem.

8805685 → 88056 + 8 85 = 88736 → 887 + 8 36 = 1175 → 11 + 8 75 = 611 → 6 + 8 11 = 94.

Vidimo da je 94 djeljivo sa 47 (kvocijent je 2), što znači da je i izvorni broj djeljiv. Fino. Ali što ako se nastavimo zabavljati?

94 → 0 + 8 94 = 752 → 7 + 8 52 = 423 → 4 + 8 23 = 188 → 1 + 8 88 = 705 → 7 + 8 5 = 47.

Sada moramo stati. Četrdeset sedam je djeljivo sa 47, zar ne?

Trebamo li doista stati? Što ako idemo dalje? O moj Bože, svašta se može dogoditi... Izostavit ću detalje. Možda samo početak:

47 → 0 + 8·47 = 376 → 3 + 8·76 = 611 → 6 + 8·11 = 94 → 0 + 8·94 = 752.

Ali, nažalost, izaziva ovisnost kao i žvakanje sjemenki...

752 → 7 + 8 * 52 = 423 → 4 + 8 * 23 = 188 → 1 + 8 * 88 = 705 → 7 + 8 * 5 = 47.

Ah, četrdeset sedam. Događalo se i prije. Što je sljedeće? . Isti. Brojevi idu u petlji ovako:

Stvarno je zanimljivo. Toliko petlji.

dva slijedeći primjeri.

Želimo znati je li 10017627 djeljivo sa 47. Zašto nam je potrebno ovo znanje? Sjećamo se načela: jao znanju koje ne pomaže znalcu. Znanje je uvijek tu za nešto. Bit će za nešto, ali sad neću objašnjavati. Još nekoliko računa:

10017627 → 100176 + 8 27 = 100392.

– Promijenio je strica iz sjekire u štap. Što imamo od svega toga?

Pa da ponovimo tijek postupka. To jest, nastavit ćemo to raditi (to jest, riječ "iterirati").

100392 → 1003 + 8 92 = 1739 → 17 + 8 39 = 329 → 3 + 8 29 = 235.

Zaustavimo igru, podijelimo kao u školi (ili na kalkulatoru): 235 = 5 47. Bingo. Izvorni broj 10017627 djeljiv je sa 47.

Dobro napravljeno!

Što ako idemo dalje? Vjerujte mi, možete to provjeriti.

I još jedna zanimljivost. Želimo provjeriti je li 799 djeljivo sa 47. Koristimo funkciju djeljivosti. Odspojimo posljednje dvije znamenke, pomnožimo rezultirajući broj s 8 i dodamo onome što je ostalo:

799 → 7 + 8 99 = 7 + 792 = 799.

Što imamo? Je li 799 djeljivo sa 47 ako i samo ako je 799 djeljivo sa 47? Da, tako je, ali za ovo nije potrebna matematika!!! Ulje je masno (bar je ovo ulje masno).

O listu, piratima i kraju šala!

Još dvije priče. Gdje je najbolje sakriti list? Odgovor je očigledan: u šumi! Ali kako ga onda pronaći?

Drugi znamo iz knjiga o gusarima koje smo davno čitali. Pirati su napravili kartu mjesta gdje su zakopali blago. Drugi su ga ili ukrali ili pobijedili u borbi. Ali karta nije naznačila kojem je otoku namijenjena. I potražite sami! Naravno, pirati su se nosili s tim (mučenjem) - šifre o kojima govorim također se mogu izvući takvim metodama.

Kraj viceva. Čitač! Mi stvaramo šifru. Ja sam tajni špijun i koristim "Junior Technician" kao svoje polje za kontakt. Proslijedite mi šifrirane poruke na sljedeći način.

Prvo pretvorite tekst u niz brojeva pomoću koda: AB CDEFGH IJ KLMN NA RST UWX Y Z1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Kao što vidite, ne koristimo poljske dijakritike (tj. bez ą, ę, ć, ń, ó, ś) i nepoljske q, v - ali nepoljski x je tu za svaki slučaj. Uključimo još 25 kao razmak (razmak između riječi). Oh, najvažnija stvar. Molimo primijenite kod broj 47.

Znate što to znači. Ideš prijatelju matematičaru.

Prijateljeve su se oči raširile od iznenađenja.

Ponosno odgovaraš:

Matematičar vam daje ovu osobinu... i već znate da se za šifriranje koristi funkcija neupadljivog izgleda

jer je takav obrazac opisana radnja

100+→+8.

Dakle, kada želite znati što broj znači, kao što je 77777777 u šifriranoj poruci, koristite funkciju

100+→+8

dok ne dobijete broj između 1 i 25. Sada pogledajte eksplicitni alfanumerički kod. Da vidimo: 77777777 →… Ovo ostavljam vama kao zadatak. Ali da vidimo koje slovo 48 skriva? Čitajmo:

48 → 0 + 8 48 = 384.

Zatim dobivamo redom:

384 → 3 + 8 84 = 675 → 6 + 8 75 = 606 → 6 + 8 6 = 54 → 0 + 8 54 = 432

Kraj se ne nazire. Tek nakon šezdesetog (!) puta pojavit će se broj manji od 25. Ovo je 3, što znači da je 48 slovo C.

A što nam ova poruka daje? (Želim vas podsjetiti da koristimo kodni broj 47):

80 – 152 – 136 – 546 – ​​695719 – 100 – 224 – 555 – 412 – 111 – 640 – 102 – 152 – 12881 – 444 – 77777777 – 59 – 408 – 373 – 1234567 – 341 –

Pa razmisli malo, što je tako komplicirano, neki računi. Počeli smo. Rane 80. Poznato pravilo:

80 → 0 + 8 80 = 640 → 6 + 8 40 = 326.

Nastavlja se ovako:

326 → 211 → 90 → 720 → 167 → 537 → 301 → 11.

Jesti! Prvo slovo poruke je K. Phew, lako, ali koliko će trajati?

Pogledajmo i koliko problema imamo s brojem 1234567. Tek po šesnaesti put ćemo dobiti broj manji od 25, odnosno 12. Dakle, 1234567 je L.

U redu, moglo bi se reći, ali ova je aritmetička operacija toliko jednostavna da će programiranje na računalu odmah razbiti kod. Da, istina je. Ovo su jednostavni računalni izračuni. ideja sa javna šifra a radi se i o otežavanju proračuna za računalo. Neka radi barem sto godina. Hoće li dešifrirati poruku? Nije važno. Neće biti važno još dugo. O tome su (manje-više) javne šifre. Mogu se pokvariti ako radite jako dugo ... dok vijesti više ne budu relevantne.

 uvijek je rađala "protuoružje". Sve je počelo mačem i štitom. Tajne službe plaćaju goleme svote novca darovitim matematičarima kako bi izmislili metode šifriranja koje računala (uključujući i one koje smo kreirali) neće moći razbiti u XNUMX. stoljeću.

dvadeset i drugo stoljeće? Nije tako teško znati da već postoji mnogo ljudi na svijetu koji će živjeti u ovom lijepom stoljeću!

Oh ha? Što ako zatražim (mene, tajnog časnika kojeg je kontaktirao “Mladi tehničar”) da kriptiram kodnim brojem 23? ili 17? Jednostavan:

Neka nikada ne moramo koristiti matematiku u takve svrhe.

***

Naslov članka govori o poeziji. Kakve ona veze ima s ovim?

Kao što? Poezija također šifrira svijet.

Kako?

Po svojim metodama – slično algebarskim.