Članak ni o čemu

Kao dijete fascinirala me vjerojatno mnogim čitateljima poznata priča o “juhi na čavlu”. Moja baka (XNUMX. stoljeće rođenja) mi je to ispričala u verziji "Došao kozak i tražio vode, jer ima ekser i na njemu će skuhati juhu." Znatiželjna domaćica mu je dala lonac vode… i znamo što je dalje bilo: “juha treba biti slana, dait, baba, sol”, zatim je oprao meso “da popravi okus” i tako dalje. Na kraju je “kuhani” čavao bacio.

Dakle, ovaj članak je trebao biti o praznini svemira - a ovo je o slijetanju europskog aparata na komet 67P / Churyumov-Gerasimenko 12. studenog 2014. Ali dok sam pisao, podlegao sam dugogodišnjoj navici, Još uvijek sam matematičar. Kako je sa Kaoс Nula iz matematike?

Kako Ništa ne postoji?

Ne može se reći da Ništa ne postoji. Postoji barem kao filozofski, matematički, religiozni i savršeno kolokvijalni koncept. Nula je običan broj, nula stupnjeva na termometru je također temperatura, a nula stanja u banci je neugodna, ali česta pojava. Imajte na umu da u kronologiji nema nulte godine, a to je zato što je nula uvedena u matematiku tek u kasnom srednjem vijeku, kasnije od kronologije koju je predložio redovnik Dionizije (XNUMX. stoljeće).

Začudo, zaista bismo mogli bez ove nule, a time i bez negativnih brojeva. U jednom od udžbenika iz logike pronašao sam vježbu: nacrtaj ili reci kako zamišljaš odsutnost ribe. Nevjerojatno, zar ne? Svatko može nacrtati ribu, ali ne jednu?

Sada ukratko osnovni tečaj matematike. Davanje privilegije postojanja praznom skupu označenom precrtanim krugom ∅ nužan je postupak analogan dodavanju nule skupu brojeva. Prazan skup je jedini skup koji ne sadrži elemente. Takve kolekcije:

Ali ne postoje dva različita prazna skupa. Prazan skup je uključen u svaki drugi set:

Doista, pravila matematičke logike kažu da je skup A sadržan u skupu B ako i samo ako rečenica:

to podrazumijeva

U slučaju praznog skupa ∅, propozicija je uvijek netočna, pa je stoga, prema zakonima logike, implikacija općenito istinita. Sve proizlazi iz laži (“ovdje ću uzgojiti kaktus ako prijeđeš u sljedeći razred...”). Dakle, budući da je prazan skup sadržan u svakom drugom, onda da su dva različita skupa, svaki od njih bi bio sadržan u onom drugom. Međutim, ako se dva skupa nalaze jedan u drugom, oni su jednaki. Zato: postoji samo jedan prazan set!

Postulat o postojanju praznog skupa ne proturječi nikakvim zakonima matematike, pa zašto ga ne oživjeti? Filozofski princip tzvOccamov brijač» Nalog da se isključe nepotrebni pojmovi, ali baš kako treba koncept praznog skupa vrlo je koristan u matematici. Imajte na umu da prazan skup ima dimenziju -1 (minus jedan) - nuldimenzionalni elementi su točke i njihovi rijetki sustavi, jednodimenzionalni elementi su linije, a o vrlo složenim matematičkim elementima s fraktalnom dimenzijom govorili smo u poglavlju o fraktalima .

Zanimljivo je da se cijela zgrada matematike: brojevi, brojevi, funkcije, operatori, integrali, diferencijali, jednadžbe... mogu izvesti iz jednog pojma – praznog skupa! Dovoljno je pretpostaviti da postoji prazan skup, novostvoreni elementi se mogu kombinirati u skupove kako bi se izgraditi svu matematiku. Tako je njemački logičar Gottlob Frege izgradio prirodne brojeve. Nula je klasa skupova čiji su elementi u međusobnoj korespondenciji s elementima praznog skupa. Jedan je klasa skupova čiji su elementi u međusobnoj korespondenciji s elementima skupa čiji je jedini element prazan skup. Dva je klasa skupova čiji su elementi jedan prema jedan s elementima skupa koji se sastoji od praznog skupa i skupa čiji je jedini element prazan skup... i tako dalje. Na prvi se pogled čini da je ovo nešto vrlo komplicirano, ali zapravo nije.

Plava se širila po meni

mirisala na vrijesak i mirisala na mentu...

Wojciech Mlynarski, Žetvena djevojka

Teško je to zamisliti

Ništa nije teško zamisliti. U priči Stanisława Lema "Kako je svijet spašen" dizajner Trurl je izgradio stroj koji će raditi sve počevši od slova. Kad je Klapaucius naredio da se izgradi nic, stroj je počeo uklanjati razne predmete iz svijeta – s krajnjim ciljem da ukloni sve. Dok je uplašeni Klapaucius zaustavio kola, galije, tisovine, vješalice, hajke, rime, batine, pufovi, mlinci, ražnjići, filidroni i mrazevi zauvijek su nestali sa svijeta. I doista, nestali su zauvijek...

O ništavilu je vrlo dobro pisao Józef Tischner u svojoj Povijesti planinske filozofije. Tijekom zadnjeg odmora odlučio sam iskusiti ovo ništavilo, naime, otišao sam na tresetište između Nowy Targa i Jabłonke u Podhale. Ovo područje se čak naziva Pustachia. Ideš, ideš, ali put se ne smanjuje – naravno, u našim skromnim, poljskim razmjerima. Jednog sam se dana vozio autobusom u kanadskoj pokrajini Saskatchewan. Vani je bilo polje kukuruza. Odrijemao sam pola sata. Kad sam se probudio, vozili smo se kroz isto polje kukuruza... Ali čekaj, je li ovo prazno? U određenom smislu, odsutnost promjene je samo praznina.

Navikli smo na stalnu prisutnost raznih predmeta oko nas, i od Nešto ne možeš pobjeći čak ni zatvorenih očiju. "Mislim, dakle jesam", rekao je Descartes. Ako sam već nešto mislio, onda postojim, što znači da postoji barem nešto na svijetu (naime, ja). Postoji li ono što sam mislio? O tome se može raspravljati, ali u modernoj kvantnoj mehanici poznat je Heisenbergov princip: svako promatranje remeti stanje promatranog objekta. Dok to ne vidimo nic ne postoji, a kada počnemo tražiti, objekt prestaje biti Kao i postaje Nešto. Postaje apsurdno antropski princip: nema smisla pitati se kakav bi svijet bio da nas nema. Svijet je onakav kakvim nam se čini. Možda će druga bića Zemlju vidjeti kao kutnu?

Pozitron (tako pozitivan elektron) je rupa u prostoru, "nema elektrona". U procesu anihilacije, elektron skoči u tu rupu i "ništa se ne događa" - nema rupe, nema elektrona. Preskočit ću mnoge šale o rupama u švicarskom siru (“što više imam, to ga je manje...”). Slavni skladatelj John Cage već je do te mjere iskoristio svoje ideje da je skladao (?) glazbeno djelo (?) u kojem orkestar nepomično sjedi 4 minute 33 sekunde i, naravno, ništa ne svira. “Četiri minute i trideset i tri sekunde je dvjesto sedamdeset i tri, 273, a minus 273 stupnja je apsolutna nula, na kojoj prestaje svako kretanje”, objasnio je skladatelj (?).

Filtrirajte na nulu, ništa, nick, nick, ništa, nula!

Jerzy u filmu Andrzeja Wajde Tijekom godina,

dani prolaze"

Što je sa svima?

Mnogi ljudi (od jednostavnih farmera do istaknutih filozofa) pitali su se o fenomenu postojanja. U matematici je situacija jednostavna: postoji nešto što je dosljedno.

Nestala je u rubnim poljima

U kukuriku, korovu i lavljim ustima...

Pa, ovakve stvari se događaju

Osobito u berbi, a i za vrijeme berbe

posebno…

Wojciech Mlynarski, Žetvena djevojka

Sve je na drugoj krajnosti Ništa. U matematici to znamo Sve ne postoji. Samo previše netočna predodžba da bi njegovo postojanje bilo oslobođeno kontroverzi. To se može razumjeti na primjeru starog paradoksa: "Ako je Bog svemoguć, onda stvorite kamen da ga pokupite?" Matematički dokaz da ne može postojati skupova svih skupova temelji se na teoremu pjevač-Bershtein, koji kaže da je "beskonačan broj" (matematički: kardinalni broj) skup svih članova danog skupa veći je od broja elemenata ovog skupa.

Ako skup ima elemente, onda ima 2ⁿ podskupovi; na primjer, kada je = 3 i skup se sastoji od {1, 2, 3}, tada postoje sljedeći podskupovi:

• tri skupa od dva elementa: svakom od njih nedostaje jedan od brojeva 1, 2, 3,
• jedan prazan set,
• tri jednoelementna skupa,
• cijeli set {1,2,3}

– samo osam, 2³A čitatelji koji su nedavno završili školu, želio bih se prisjetiti odgovarajuće formule:

Svaki od Newtonovih simbola u ovoj formuli određuje broj skupova k-elemenata u skupu -elemenata.

U matematici se binomni koeficijenti pojavljuju na mnogim drugim mjestima, poput zanimljivih formula za smanjeno množenje:

a iz njihova točnog oblika, njihova je međuovisnost mnogo zanimljivija.

Teško je razumjeti što - što se logike i matematike tiče - jest, a što Sve nije. Argumenti za nepostojanje Baš kao i onaj Winnieja Pooha koji je svog gosta Tigra pristojno upitao vole li tigrovi uopće med, žir i čičak? “Tigrovi vole sve”, odgovorio je onaj iz čega je Kubus zaključio da, ako vole sve, onda vole i spavati na podu, pa se on, Vinnie, može vratiti u krevet.

Još jedan argument Russell-ov paradoks. U gradu postoji brijač koji brije sve muškarce koji se ne briju sami. Brije li se sam? Oba odgovora su u suprotnosti s postavljenim uvjetom da se kolju oni, i to samo oni koji to sami ne učine.

Tražim zbirku svih kolekcija

U zaključku, dat ću pametan, ali najviše matematički dokaz da ne postoji skup svih skupova (ne smije se brkati s njim).

Prvo ćemo pokazati da je za bilo koji neprazan skup X nemoguće pronaći međusobno jedinstvenu funkciju koja preslikava ovaj skup u skup njegovih podskupova P(X). Dakle, pretpostavimo da ova funkcija postoji. Označimo ga tradicionalnim f. Što je f od x? Ovo je zbirka. Da li xf pripada x? Ovo je nepoznato. Ili moraš ili ne moraš. Ali za neki x mora biti takav da ne pripada f od x. Pa, onda razmotrimo skup svih x za koji x ne pripada f(x). Označimo ga (ovaj skup) s A. Odgovara nekom elementu a skupa X. Pripada li a A? Pretpostavimo da bi trebao. Ali A je skup koji sadrži samo one elemente od x koji ne pripadaju f(x)... Pa, možda ne pripada A? Ali skup A sadrži sve elemente ovog svojstva, a time i A. Kraj dokaza.

Prema tome, kada bi postojao skup svih skupova, on bi bio sam podskup, što je prema prethodnom razmišljanju nemoguće.

Fuj, mislim da mnogi čitatelji nisu vidjeli ovaj dokaz. Umjesto toga, iznio sam to kako bih pokazao što su matematičari morali učiniti na kraju devetnaestog stoljeća, kada su počeli proučavati temelje svoje vlastite znanosti. Pokazalo se da problemi leže tamo gdje ih nitko nije očekivao. Štoviše, za cijelu matematiku ova razmišljanja o bazama nisu bitna: bez obzira što se događa u podrumima - cijela zgrada matematike stoji na čvrstoj stijeni.

U međuvremenu, na vrhu...

Još jedan moral bilježimo iz priča Stanislava Lema. Na jednom od svojih putovanja Iyon Tichi je stigao do planeta čiji su stanovnici, nakon duge evolucije, konačno dosegli najviši stupanj razvoja. Svi su jaki, mogu sve, imaju sve na dohvat ruke... i ne rade ništa. Legnu na pijesak i sipaju ga među prste. "Ako je sve moguće, ne isplati se", objašnjavaju šokiranom Ijonu. Neka se to ne dogodi našoj europskoj civilizaciji...