pet puta u oko

Krajem 2020. godine održano je nekoliko događanja na sveučilištima i školama, odgođenih s ... ožujka. Jedna od njih bila je "proslava" dana pi. Tim sam povodom 8. prosinca održao predavanje na daljinu na Sveučilištu u Šleskoj, a ovaj članak je sažetak predavanja. Cijela zabava počela je u 9.42, a moje predavanje je zakazano za 10.28. Odakle takva točnost? Jednostavno je: 3 puta pi je oko 9,42, a π na 2. stepen je oko 9,88, a sat 9 na 88. stepen je 10 na 28. ...

Običaj poštovanja ovog broja, koji izražava omjer opsega kruga i njegovog promjera i ponekad se naziva Arhimedova konstanta (kao i u kulturama njemačkog govornog područja), dolazi iz SAD-a (vidi također: ). 3.14. ožujka “American style” u 22:22, otud ideja. Poljski ekvivalent bi mogao biti 7. srpnja jer razlomak 14/XNUMX dobro odgovara π, što je...Arhimed već znao. Pa, XNUMX. ožujka najbolje je vrijeme za popratne događaje.

Ove tri i četrnaest stotinki jedna su od rijetkih matematičkih poruka koje su nam ostale iz škole za cijeli život. Svi znaju što to znači"pet puta u oko". Toliko je ukorijenjen u jeziku da ga je teško drugačije i s istom gracioznošću izraziti. Kad sam u automehaničaru pitao koliko bi popravak mogao koštati, mehaničar je razmislio i rekao: “pet puta oko osamsto zlota.” Odlučio sam iskoristiti situaciju. "Misliš grubu aproksimaciju?". Mehaničar je sigurno mislio da sam pogrešno čuo, pa je ponovio: "Ne znam točno koliko, ali pet puta oko bi bilo 800."

.

O čemu se radi? Pravopis prije Drugog svjetskog rata koristio je "ne" zajedno, a ja sam to ostavio tamo. Ovdje nemamo posla s pretjerano pompoznom poezijom, iako mi se sviđa ideja da „zlatni brod crpi sreću“. Pitajte učenike: Što ova misao znači? Ali vrijednost ovog teksta leži na drugom mjestu. Broj slova u sljedećim riječima su znamenke pi ekstenzije. Da vidimo:

≈ 3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359 408128 481117 450284 \ t

1596. nizozemski znanstvenik njemačkog podrijetla Ludolph van Seulen izračunao vrijednost pi na 35 decimalnih mjesta. Zatim su ovi likovi urezani na njegov grob. Posvetila je pjesmu broju pi i našem nobelovcu, Vislava Šimborska. Szymborska je bila fascinirana neperiodičnošću ovog broja i činjenicom da će se s vjerojatnošću 1 svaki niz znamenki, kao što je naš telefonski broj, pojaviti tamo. Dok je prvo svojstvo svojstveno svakom iracionalnom broju (što bismo trebali zapamtiti iz škole), drugo je zanimljiva matematička činjenica koju je teško dokazati. Možete čak pronaći i aplikacije koje nude: dajte mi svoj telefonski broj i reći ću vam gdje se nalazi u pi.

Gdje je zaobljenost, tamo je i san. Ako imamo okruglo jezero, onda je hodanje oko njega 1,57 puta dulje od plivanja. Naravno, to ne znači da ćemo plivati ​​jedan i pol do dva puta sporije nego što ćemo proći. Dijelio sam svjetski rekord na 100 metara sa svjetskim rekorderom na 100 metara. Zanimljivo, kod muškaraca i žena rezultat je gotovo isti i iznosi 4,9. Plivamo 5 puta sporije nego što trčimo. Veslanje je sasvim drugačije – ali zanimljiv izazov. Ima prilično dugu priču.

Bježeći od Zlotvora koji ga je progonio, zgodni i plemeniti Dobri doplovio je do jezera. Zlikovac trči uz obalu i čeka da ga ona natjera na kopno. Naravno, on trči brže nego Dobry vesla, a ako trči glatko, Dobry je brži. Dakle, jedina šansa za Zlo je izvući Dobro s obale - precizan hitac iz revolvera nije opcija, jer. Dobro ima vrijedne informacije koje Zlo želi znati.

Good se pridržava sljedeće strategije. On pliva preko jezera, postupno se približava obali, ali uvijek pokušava biti na suprotnoj strani od Zloga, koji nasumce trči lijevo, pa desno. To je prikazano na slici. Neka početna pozicija zla bude Z₁, a Dobre je sredina jezera. Kada se Zly preseli u Z₁, Dobro će doploviti u D.₁kada je loše u Z₂, bravo za D₂. Teći će cik-cak, ali u skladu s pravilom: što dalje od Z. Međutim, kako se udaljava od središta jezera, Dobro se mora kretati u sve većim i većim krugovima, a u nekom trenutku ne može pridržavati se načela “biti s druge strane zla”. Zatim je svom snagom doveslao do obale, nadajući se da Zli neće zaobići jezero. Hoće li Good uspjeti?

Odgovor ovisi o tome koliko brzo Good može veslati u odnosu na vrijednost Badovih nogu. Pretpostavimo da loš čovjek trči brzinom s puta većom od brzine dobrog čovjeka na jezeru. Posljedično, najveći krug, po kojem Dobro može veslati kako bi se odupro Zlu, ima polumjer jednom manji od polumjera jezera. Dakle, na crtežu koji imamo. U točki W, naš Kind počinje veslati prema obali. Ovo mora proći 

 brzinom

Treba mu vremena.

Wicked juri sve svoje najbolje noge. Mora završiti polovicu kruga, za što će mu trebati sekunde ili minute, ovisno o odabranim jedinicama. Ako je ovo više nego sretan kraj:

Onaj dobar će otići. Jednostavni računi pokazuju što bi trebalo biti. Ako loš čovjek trči brže od 4,14 puta od dobrog čovjeka, to neće dobro završiti. I ovdje intervenira naš broj pi.

Lijepo je što je okruglo. Pogledajmo fotografiju tri ukrasna tanjura - imam ih po roditeljima. Kolika je površina krivocrtnog trokuta između njih? Ovo je jednostavan zadatak; odgovor je na istoj fotografiji. Ne čudi nas što se pojavljuje u formuli - uostalom, gdje je zaobljenost, tu je i pi.

Upotrijebio sam možda nepoznatu riječ:. Ovo je naziv broja pi u kulturi njemačkog govornog područja, a sve to zahvaljujući Nizozemcima (zapravo Nijemcu koji je živio u Nizozemskoj - nacionalnost u to vrijeme nije bila bitna), Ludolf iz Seulena... Godine 1596. g. izračunao je 35 znamenki svog proširenja na decimalu. Taj se rekord održao do 1853. godine William Rutherford broji 440 mjesta. Rekorder za ručne izračune je (vjerojatno zauvijek) William Shankskoji je nakon dugogodišnjeg rada objavio (1873.) proširenje na 702 znamenke. Tek 1946. godine ustanovljeno je da zadnjih 180 znamenki nije točno, ali tako je i ostalo. 527 točno. Bilo je zanimljivo pronaći samu bubu. Ubrzo nakon objave Shanksovog rezultata posumnjali su da "nešto nije u redu" - bilo je sumnjivo nekoliko sedmica u razvoju. Još nedokazana hipoteza (prosinac 2020.) kaže da bi se svi brojevi trebali pojavljivati ​​s istom učestalošću. To je potaknulo D. T. Fergusona da revidira Shanksove izračune i pronađe grešku "učenika"!

Kasnije su ljudima pomogli kalkulatori i računala. Trenutni (prosinac 2020.) rekorder je Timothy Mullican (50 trilijuna decimalnih mjesta). Izračuni su trajali ... 303 dana. Idemo se igrati: koliko bi prostora zauzeo ovaj broj, otisnut u standardnoj knjizi. Donedavno je tiskana "strana" teksta bila 1800 znakova (30 redova po 60 redaka). Smanjimo broj znakova i margina stranice, nagurajmo 5000 znakova po stranici i ispišimo knjige od 50 stranica. Dakle, za XNUMX trilijuna likova trebalo bi deset milijuna knjiga. Nije loše, zar ne?

Pitanje je koja je svrha takve borbe? S čisto ekonomske točke gledišta, zašto bi porezni obveznici plaćali takvu “zabavu” matematičara? Odgovor nije težak. Prvi, iz Seulena izumio praznine za izračune, tada korisno za logaritamske izračune. Da mu je rečeno: molim te, napravi praznine, odgovorio bi: zašto? Slično naredba:. Kao što znate, ovo otkriće nije bilo sasvim slučajno, ali ipak nusproizvod istraživanja drugačijeg tipa.

Drugo, čitajmo što piše Timothy Mullican. Ovdje je reprodukcija početka njegova rada. Profesor Mullican bavi se kibernetičkom sigurnošću, a pi je tako mali hobi da je upravo testirao svoj novi sustav kibernetičke sigurnosti.

A tih 3,14159 u tehnici je više nego dovoljno, to je druga stvar. Napravimo jednostavnu računicu. Jupiter je od Sunca udaljen 4,774 Tm (terametar = 1012 metara). Za izračunavanje opsega takve kružnice s takvim polumjerom do apsurdne preciznosti od 1 milimetra, bilo bi dovoljno uzeti π = 3,1415926535897932.

Sljedeća fotografija prikazuje četvrtinu kruga Lego kockica. Koristio sam 1774 jastučića i bio je oko 3,08 pi. Nije najbolje, ali što očekivati? Krug se ne može sastaviti od kvadrata.

Točno. Poznato je da je broj pi kružni kvadrat - matematički problem koji svoje rješenje čeka više od 2000 godina - još od grčkih vremena. Možete li pomoću šestara i ravnala konstruirati kvadrat čija je površina jednaka površini zadanog kruga?

Pojam "kvadrat kruga" ušao je u govorni jezik kao simbol nečeg nemogućeg. Pritiskam tipku da pitam, je li ovo nekakav pokušaj da se popuni rov neprijateljstva koji dijeli građane Lijepe naše? Ali ovu temu već izbjegavam, jer se vjerojatno osjećam samo u matematici.

I opet ista stvar - rješenje problema kvadrature kruga nije se pojavilo na način da je autor rješenja, Charles Lindemann, 1882. postavljen je i konačno uspio. Donekle da, ali to je bio rezultat napada sa široke fronte. Matematičari su naučili da postoje različite vrste brojeva. Ne samo cijeli brojevi, racionalni (tj. razlomci) i iracionalni. Nemjerljivost također može biti bolja ili gora. Možda se iz škole sjećamo da je iracionalni broj √2, broj koji izražava omjer duljine dijagonale kvadrata i duljine njegove stranice. Kao i svaki iracionalni broj, ima neodređeno proširenje. Podsjetim da je periodično širenje svojstvo racionalnih brojeva, t.j. privatni cijeli brojevi:

Ovdje se unedogled ponavlja niz brojeva 142857. Za √2 to se neće dogoditi - to je dio iracionalnosti. Ali možeš:

(razlomak se nastavlja zauvijek). Ovdje vidimo obrazac, ali drugačijeg tipa. Pi čak i nije toliko čest. Ne može se dobiti rješavanjem algebarske jednadžbe – odnosno one u kojoj nema ni kvadratnog korijena, ni logaritma, ni trigonometrijskih funkcija. To već pokazuje da nije konstruibilno – crtanje kružnica vodi do kvadratnih funkcija, a linije – ravne – do jednadžbi prvog stupnja.

Možda sam odstupio od glavne radnje. Tek je razvoj cjelokupne matematike omogućio povratak iskonima - drevnoj lijepoj matematici mislilaca koji su za nas stvorili europsku kulturu mišljenja, u koju danas neki toliko sumnjaju.

Od brojnih reprezentativnih uzoraka odabrala sam dva. Prvu od njih povezujemo s prezimenom Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Ali bio je poznat (uzor, ne Leibniz) srednjovjekovnom hinduističkom učenjaku Madhavi iz Sangamagrama (1350-1425). Prijenos informacija u to vrijeme nije bio sjajan - internetske veze često su bile bučne, a nije bilo baterija za mobitele (jer elektronika još nije bila izumljena!). Formula je lijepa, ali beskorisna za izračune. Od stotinu sastojaka dobije se "samo" 3,15159.

malo mu je bolje wzór Viète'a (onaj iz kvadratnih jednadžbi) i njegovu formulu je lako programirati jer je sljedeći član u umnošku kvadratni korijen prethodnog plus dva.

Znamo da je krug okrugao. Možemo reći da je ovo 100 posto runda. Matematičar će pitati: može li nešto biti ne 1 posto okruglo? Očito je ovo oksimoron, fraza koja sadrži skrivenu kontradikciju, kao što je, na primjer, vrući led. Ali pokušajmo izmjeriti koliko oblici mogu biti okrugli. Ispada da je dobra mjera data sljedećom formulom, u kojoj je S površina, a L opseg figure. Otkrijmo da je krug stvarno okrugao, da je sigma 6. Površina kruga je opseg. Ubacujemo ... i vidimo što je ispravno. Koliko je kvadrat okrugao? Računice su jednako jednostavne, neću ih ni navoditi. Uzmite pravilan šesterokut upisan u krug s polumjerom. Opseg je očito XNUMX.

Pol

Što kažete na običan šesterokut? Njegov opseg je 6 i njegova površina

Tako da imamo

što je približno jednako 0,952. Šesterokut je više od 95% "okrugli".

Zanimljiv rezultat dobiva se pri izračunavanju okruglosti sportskog stadiona. Prema pravilima IAAF-a, pravci i zavoji moraju biti dugi 40 metara, iako su dopuštena odstupanja. Sjećam se da je stadion Bislet u Oslu bio uzak i dugačak. Pišem "bio" jer sam čak i trčao na njemu (za amatera!), ali prije više od XNUMX godina. Pogledajmo:

Ako luk ima polumjer 100 metara, polumjer tog luka je metara. Površina travnjaka je četvornih metara, a površina izvan njega (gdje se nalaze odskočne daske) iznosi četvornih metara. Ubacimo ovo u formulu:

Dakle, ima li okruglost sportskog stadiona ikakve veze s jednakostraničnim trokutom? Budući da je visina jednakostraničnog trokuta jednaka broju stranica. To je slučajna slučajnost brojeva, ali je lijepo. Sviđa mi se. A čitatelji?

Pa dobro je da je okrugla, iako bi neki mogli prigovoriti jer virus koji nas sve pogađa je okrugao. Barem to tako crtaju.