obrnuti šarm
Puno se priča o „čari suprotnosti“, i to ne samo u matematici. Zapamtite da su suprotni brojevi oni koji se razlikuju samo predznakom: plus 7 i minus 7. Zbroj suprotnih brojeva je nula. Ali nama (tj. matematičarima) su reciproci zanimljiviji. Ako je umnožak brojeva jednak 1, onda su ti brojevi jedan drugome inverzni. Svaki broj ima svoju suprotnost, svaki broj različit od nule ima svoj inverz. Uzajamno od recipročnog je sjeme.
Inverzija se događa gdje god su dvije veličine povezane jedna s drugom, tako da ako se jedna povećava, druga se smanjuje odgovarajućom brzinom. "Relevantno" znači da se umnožak tih količina ne mijenja. Sjećamo se iz škole: ovo je obrnuti omjer. Ako želim dvaput brže doći do odredišta (tj. prepoloviti vrijeme), moram udvostručiti brzinu. Ako se volumen zatvorene posude s plinom smanji za n puta, tada će se njezin tlak povećati za n puta.
U osnovnom obrazovanju pažljivo razlikujemo diferencijalne i relativne usporedbe. "Koliko još"? – “Koliko puta više?”
Evo nekih školskih aktivnosti:
Zadatak 1. Od dvije pozitivne vrijednosti, prva je 5 puta veća od druge i istovremeno 5 puta veća od prve. Koje su dimenzije?
Zadatak 2. Ako je jedan broj za 3 veći od drugog, a drugi za 2 veći od trećeg, koliko je prvi broj veći od trećeg? Ako je prvi pozitivni broj dva puta veći od drugog, a prvi broj tri puta treći, koliko je puta prvi broj veći od trećeg?
Zadatak 3. U zadatku 2 dopušteni su samo prirodni brojevi. Je li moguć takav aranžman kako je tamo opisan?
Zadatak 4. Od dvije pozitivne vrijednosti, prva je 5 puta veća od druge, a druga je 5 puta veća od prve. Je li moguće?
Koncept "prosječno" ili "prosječno" čini se vrlo jednostavnim. Ako sam u ponedjeljak biciklirao 55 km, u utorak 45 km, a u srijedu 80 km, u prosjeku sam vozio 60 km dnevno. Svim se srcem slažemo s ovim izračunima, iako su malo čudni jer u jednom danu nisam prešao 60 km. Jednako lako prihvaćamo udjele osobe: ako dvjesto ljudi posjeti restoran u roku od šest dana, onda je prosječna dnevna stopa 33 i trećina ljudi. Hm!
Problemi postoje samo s prosječnom veličinom. Volim voziti bicikl. Tako sam iskoristio ponudu turističke agencije "Idemo s nama" - oni dostavljaju prtljagu u hotel, gdje klijent vozi bicikl u rekreativne svrhe. U petak sam vozio četiri sata: prva dva brzinom od 24 km na sat. Onda sam se toliko umorio da sam iduća dva brzinom od samo 16 na sat. Kolika je bila moja prosječna brzina? Naravno (24+16)/2=20km=20km/h.
Međutim, u subotu je prtljaga ostavljena u hotelu, a ja sam otišao pogledati ruševine dvorca koji je udaljen 24 km i nakon što sam ih vidio vratio sam se. Vozio sam sat vremena u jednom smjeru, vraćao se sporije, brzinom od 16 km na sat. Koja je bila moja prosječna brzina na relaciji hotel-dvorac-hotel? 20 km na sat? Naravno da ne. Uostalom, vozio sam ukupno 48 km i trebalo mi je sat (“tamo”) i sat i pol natrag. 48 km za dva i pol sata, t.j. sat 48/2,5=192/10=19,2 km! U ovoj situaciji prosječna brzina nije aritmetička sredina, već harmonik zadanih vrijednosti:
a ova dvokatna formula može se čitati na sljedeći način: harmonijska sredina pozitivnih brojeva je recipročna vrijednost aritmetičke sredine njihove recipročne vrijednosti. Recipročna vrijednost zbroja inverza pojavljuje se u mnogim zborovima školskih zadataka: ako jedan radnik kopa sate, drugi - b sati, tada, radeći zajedno, kopaju na vrijeme. vodeni bazen (jedan na sat, drugi u b sati). Ako jedan otpornik ima R1, a drugi R2, tada imaju paralelni otpor.
Ako jedno računalo može riješiti problem za nekoliko sekundi, drugo računalo za b sekundi, onda kada rade zajedno...
Stop! Tu analogija završava, jer sve ovisi o brzini mreže: učinkovitosti veza. Radnici također mogu jedni drugima ometati ili pomagati. Ako jedan čovjek može iskopati bunar za osam sati, može li osamdeset radnika to učiniti za 1/10 sata (ili 6 minuta)? Ako šest nosača odnese klavir na prvi kat za 6 minuta, koliko će jednom od njih trebati da dostavi klavir na šezdeseti kat? Apsurd takvih problema podsjeća na ograničenu primjenjivost sve matematike na probleme "iz života".
O moćnom prodavaču
Vaga se više ne koristi. Prisjetimo se da je na jednu posudu takve vage stavljen uteg, a na drugu robu koja se vagala, a kada je uteg bio u ravnoteži, tada je roba težila koliko i težina. Naravno, oba kraka utega moraju biti iste duljine, inače će vaganje biti netočno.
U redu. Zamislite prodavača koji ima težinu s nejednakom polugom. Međutim, želi biti pošten prema kupcima i vaga robu u dvije serije. Najprije na jednu tavu stavlja uteg, a na drugu odgovarajuću količinu robe - tako da vaga bude u ravnoteži. Zatim drugu "polovinu" robe važe obrnutim redoslijedom, odnosno uteg stavlja na drugu zdjelu, a robu na prvu. Budući da su ruke nejednake, "polovice" nikada nisu jednake. I savjest prodavača je čista, a kupci hvale njegovo poštenje: "Ono što sam ovdje uklonio, onda sam dodao."
Ipak, pogledajmo pobliže ponašanje prodavača koji želi biti pošten unatoč nesigurnoj težini. Neka krakovi vage imaju duljine a i b. Ako je jedna zdjela natovarena utegom od kilograma, a druga s x robe, tada je vaga u ravnoteži ako je prvi put ax = b, a drugi put bx = a. Dakle, prvi dio robe je jednak b / kilogramu, drugi dio je a / b. Dobra težina ima a = b, pa će kupac dobiti 2 kg robe. Pogledajmo što se događa kada je a ≠ b. Tada je a – b ≠ 0 i iz formule reduciranog množenja imamo
Došli smo do neočekivanog rezultata: naizgled poštena metoda "prosječenja" mjerenja u ovom slučaju radi u korist kupca, koji dobiva više robe.
Vježba 5. (Važno, nikako u matematici!). Komarac je težak 2,5 miligrama, a slon pet tona (ovo je sasvim točan podatak). Izračunajte aritmetičku sredinu, geometrijsku sredinu i harmonijsku sredinu mase (težina) komaraca i slona. Provjerite izračune i provjerite imaju li ikakvog smisla osim aritmetičkih vježbi. Pogledajmo druge primjere matematičkih proračuna koji nemaju smisla u "stvarnom životu". Savjet: Već smo pogledali jedan primjer u ovom članku. Znači li to da je anonimni student čije sam mišljenje pronašao na internetu bio u pravu: “Matematika zavarava ljude brojevima”?
Da, slažem se da u veličanstvenosti matematike možete "prevariti" ljude - svaka druga reklama šampona kaže da povećava lepršavost za neki postotak. Hoćemo li tražiti druge primjere korisnih svakodnevnih alata koji se mogu koristiti za kriminalne aktivnosti?
Grama!
Naslov ovog odlomka je glagol (prvo lice množine), a ne imenica (imenik množine od tisućinke kilograma). Harmonija podrazumijeva red i glazbu. Za stare Grke glazba je bila grana znanosti – mora se priznati da, ako tako kažemo, prenosimo današnje značenje riječi “znanost” u vrijeme prije naše ere. Pitagora je živio u XNUMX. stoljeću prije Krista Ne samo da nije poznavao računalo, mobilni telefon i e-poštu, već nije znao ni tko su Robert Lewandowski, Mieszko I., Karlo Veliki i Ciceron. Nije znao ni arapske, ni rimske brojeve (u upotrebu su ušli oko XNUMX. stoljeća prije Krista), nije znao što su bili Punski ratovi... Ali znao je glazbu...
Znao je da su na žičanim instrumentima koeficijenti vibracije obrnuto proporcionalni duljini vibrirajućih dijelova žica. Znao je, znao je, jednostavno nije mogao to izraziti na način na koji to činimo danas.
Frekvencije dviju vibracija žica koje čine oktavu su u omjeru 1:2, odnosno frekvencija više note dvostruko je veća od frekvencije niže. Ispravan omjer vibracija za kvintu je 2:3, kvartu je 3:4, čistu veliku tercu je 4:5, malu tercu je 5:6. To su ugodni suglasnički intervali. Zatim dva neutralna, s omjerima titranja 6:7 i 7:8, zatim disonantna - veliki ton (8:9), mali ton (9:10). Ovi razlomci (omjeri) su poput omjera uzastopnih članova niza koje matematičari (upravo iz tog razloga) nazivaju harmonički niz:
je teoretski beskonačan zbroj. Omjer oscilacija oktave možemo zapisati kao 2:4 i između njih staviti kvintu: 2:3:4, odnosno oktavu ćemo podijeliti na kvintu i kvartu. To se u matematici naziva harmonijska segmentna podjela:
Riža. 1. Za glazbenika: dijeljenje oktave AB na petu AC.Za matematičara: Harmonička segmentacija
Što mislim kada govorim (gore) o teoretski beskonačnom zbroju, kao što je harmonijski niz? Ispada da takav zbroj može biti bilo koji veliki broj, glavna stvar je da zbrajamo dugo vremena. Sve je manje sastojaka, ali ih je sve više. Što prevladava? Ovdje ulazimo u područje matematičke analize. Ispada da su sastojci iscrpljeni, ali ne baš brzo. Pokazat ću da uzimajući dovoljno sastojaka, mogu sažeti:
proizvoljno velika. Uzmimo "na primjer" n = 1024. Grupirajmo riječi kao što je prikazano na slici:
U svakoj zagradi svaka je riječ veća od prethodne, osim, naravno, posljednje, koja je sama sebi jednaka. U sljedećim zagradama imamo 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 i 512 komponenti; vrijednost zbroja u svakoj zagradi veća je od ½. Sve je to više od 5½. Točniji izračuni pokazali bi da je taj iznos otprilike 7,50918. Ne puno, ali uvijek, i možete vidjeti da uzimajući n bilo koji veliki, mogu nadmašiti bilo koji broj. Ovaj je nevjerojatno spor (na primjer, prvih deset smo samo sa sastojcima), ali beskonačan rast oduvijek je fascinirao matematičare.
Putovanje u beskonačnost uz harmonijski niz
Evo zagonetke neke prilično ozbiljne matematike. Imamo neograničenu ponudu pravokutnih blokova (što da kažem, pravokutnih!) dimenzija, recimo, 4 × 2 × 1. Razmotrimo sustav koji se sastoji od nekoliko (na sl. 2 - četiri) bloka, raspoređenih tako da je prvi nagnut za ½ svoje duljine, drugi odozgo za ¼ i tako dalje, treći za jednu šestinu. Pa, možda da bude stvarno stabilan, nagnimo prvu ciglu malo manje. Nije važno za kalkulacije.
Riža. 2. Određivanje težišta
Također je lako razumjeti da budući da lik sastavljen od prva dva bloka (računajući odozgo) ima središte simetrije u točki B, onda je B centar gravitacije. Definirajmo geometrijski centar gravitacije sustava, sastavljen od tri gornja bloka. Ovdje je dovoljan vrlo jednostavan argument. Podijelimo mentalno sastav od tri bloka na dva gornja i treći donji. Ovo središte mora ležati na dijelu koji povezuje težišta dvaju dijelova. U kojem trenutku u ovoj epizodi?
Postoje dva načina za označavanje. U prvom ćemo se poslužiti opažanjem da ovo središte mora ležati u sredini piramide od tri bloka, tj. na ravnoj crti koja siječe drugi, srednji blok. Na drugi način razumijemo da, budući da dva gornja bloka imaju ukupnu masu dvostruko veću od jednog bloka #3 (vrh), težište na ovom dijelu mora biti dvostruko bliže B nego središtu S trećeg bloka. Slično, nalazimo sljedeću točku: povezujemo pronađeno središte tri bloka sa središtem S četvrtog bloka. Središte cijelog sustava nalazi se na visini 2 iu točki koja dijeli segment s 1 do 3 (odnosno za ¾ njegove duljine).
Proračuni koje ćemo provesti malo dalje dovode do rezultata prikazanog na sl. sl. 3. Uzastopna težišta uklanjaju se s desnog ruba donjeg bloka:
Dakle, projekcija težišta piramide uvijek je unutar baze. Toranj se neće prevrnuti. Sada pogledajmo sl. 3 i na trenutak upotrijebimo peti blok odozgo kao bazu (onaj označen svjetlijom bojom). Nagnut vrh:
pa je njegov lijevi rub 1 dalje od desnog ruba baze. Evo sljedećeg zamaha:
Koji je najveći zamah? Već znamo! Nema najveće! Uzimajući čak i najmanje blokove, možete dobiti previs od jednog kilometra - nažalost, samo matematički: cijela Zemlja ne bi bila dovoljna da izgradi toliko blokova!
Riža. 3. Dodajte još blokova
Sada izračuni koje smo ostavili iznad. Sve udaljenosti ćemo izračunati "horizontalno" na x-osi, jer to je sve. Točka A (težište prvog bloka) je 1/2 od desnog ruba. Točka B (središte sustava dva bloka) udaljena je 1/4 od desnog ruba drugog bloka. Neka početna točka bude kraj drugog bloka (sada ćemo prijeći na treći). Na primjer, gdje je težište jednog bloka #3? Pola duljine ovog bloka, dakle, iznosi 1/2 + 1/4 = 3/4 od naše referentne točke. Gdje je točka C? U dvije trećine segmenta između 3/4 i 1/4, tj. u točki prije, mijenjamo referentnu točku na desni rub trećeg bloka. Težište sustava s tri bloka sada je uklonjeno iz nove referentne točke, i tako dalje. Težište Cn toranj sastavljen od n blokova udaljen je 1/2n od trenutne referentne točke, koja je desni rub osnovnog bloka, tj. n-ti blok od vrha.
Budući da se niz recipročnih vrijednosti razilazi, možemo dobiti bilo koju veliku varijaciju. Može li se to stvarno provesti? To je poput beskrajne kule od cigle – prije ili kasnije će se srušiti pod vlastitom težinom. U našoj shemi, minimalne netočnosti u postavljanju blokova (i sporo povećanje djelomičnog zbroja serije) znači da nećemo stići jako daleko.
