Lem, Tokarčuk, Krakov, matematika

Od 3. do 7. rujna 2019. u Krakovu je održan obljetnički kongres Poljskog matematičkog društva. Obljetnica, jer stota obljetnica osnutka Društva. U Galiciji je postojala od 1. godine (bez pridjeva da je poljsko-liberalizam cara FJ1919 imao svoje granice), ali je kao općenarodna organizacija djelovala tek od 1919. godine. Veliki napredak u poljskoj matematici datira iz 1939-XNUMX. XNUMX. na Sveučilištu Jan Casimir u Lavovu, ali konvencija se tamo nije mogla održati – a ni to nije najbolja ideja.

Susret je bio vrlo svečan, pun popratnih sadržaja (uključujući nastup Jaceka Wojcickog u dvorcu u Niepolomicama). Glavna predavanja održalo je 28 predavača. Bili su na poljskom jer su pozvani gosti bili Poljaci – ne nužno u smislu državljanstva, već priznavanja sebe kao Poljaka. O da, samo trinaest predavača bilo je iz poljskih znanstvenih institucija, preostalih petnaest iz SAD-a (7), Francuske (4), Engleske (2), Njemačke (1) i Kanade (1). Pa, ovo je dobro poznata pojava u nogometnim ligama.

Najbolji stalno nastupaju u inozemstvu. Malo je tužno, ali sloboda je sloboda. Nekoliko poljskih matematičara ostvarilo je inozemne karijere koje su u Poljskoj nedostižne. Novac ovdje igra sporednu ulogu, ali ne želim pisati o takvim temama. Možda samo dva komentara.

U Rusiji, a prije toga u Sovjetskom Savezu, to je bilo i jest na najsvjesnijoj razini... a tamo nekako nitko ne želi emigrirati. S druge strane, u Njemačkoj se za profesorsko mjesto na bilo kojem sveučilištu prijavi desetak kandidata (kolege sa Sveučilišta u Konstanzu rekli su da su u godini imali 120 prijava, od kojih je 50 bilo vrlo dobrih, a 20 izvrsnih).

Neka od predavanja na jubilarnom kongresu mogu se sažeti u našem mjesečniku. Naslovi poput "Granice rijetkih grafova i njihove primjene" ili "Linearna struktura i geometrija podprostora i faktorskih prostora za visokodimenzionalne normalizirane prostore" neće prosječnom čitatelju ništa reći. Drugu temu uveo je moj prijatelj s prvih tečajeva, Nicole Tomchak.

Prije nekoliko godina nominirana je za ostvarenje predstavljeno u ovom predavanju. Fields medalja je ekvivalent za matematičare. Do sada je ovu nagradu dobila samo jedna žena. Također je vrijedno pažnje predavanje Anna Marciniak-Chokhra (Heidelberg University) "Uloga mehaničkih matematičkih modela u medicini na primjeru modeliranja leukemije".

ušao u medicinu. Na Sveučilištu u Varšavi grupa koju vodi prof. Jerzy Tyurin.

Čitateljima će biti nerazumljiv naslov predavanja Veslava Niziol (z prestiżowej Viša pedagoška škola) “-adic Hodge teorija". Ipak, odlučio sam ovdje raspravljati o ovom predavanju.

Geometrija -adični svjetovi

Počinje s jednostavnim sitnicama. Sjećaš li se, čitatelju, metode pisane razmjene? Definitivno. Prisjetite se bezbrižnih godina osnovne škole. Podijelite 125051 s 23 (ovo je radnja s lijeve strane). Znate li da može biti drugačije (akcija desno)?

Ova nova metoda je zanimljiva. Idem od kraja. Trebamo podijeliti 125051 s 23. S čim trebamo pomnožiti 23 tako da zadnja znamenka bude 1? Pretragom u memoriji imamo :=7. Posljednja znamenka rezultata je 7. Pomnožimo, oduzmemo, dobivamo 489. Kako pomnožiti 23 da na kraju dobijete 9? Naravno, do 3. Dolazimo do točke kada utvrđujemo sve brojeve rezultata. Smatramo da je to nepraktično i teže od naše uobičajene metode - ali to je stvar prakse!

Stvari se mijenjaju kada hrabri čovjek nije potpuno podijeljen djeliteljem. Napravimo podjelu i vidimo što će se dogoditi.

S lijeve strane je tipična školska staza. Desno je "naši čudni".

Oba rezultata možemo provjeriti množenjem. Prvo razumijemo: jedna trećina broja 4675 je tisuću petsto pedeset osam, a tri u razdoblju. Drugo nema smisla: kojem broju prethodi beskonačan broj šestica, a zatim 8225?

Ostavimo na trenutak pitanje smisla. Igrajmo se. Dakle, podijelimo 1 sa 3, a zatim 1 sa 7 što je jedna trećina i jedna sedma. Lako možemo dobiti:

1:3=…6666667, 1/7=…(285714)3.

Ovaj zadnji redak znači: blok 285714 ponavlja se beskonačno na početku, a na kraju ih ima tri. Za one koji ne vjeruju, evo testa:

Sada dodajmo razlomke:

Zatim zbrojimo primljene čudne brojeve, i dobijemo (provjerimo) isti čudni broj.

......95238095238095238095238010

Možemo provjeriti je li ovo jednako

Bit će se tek vidjeti, ali aritmetika je točna.

Još jedan primjer.

Uobičajeni, iako veliki, broj 40081787109376 ima zanimljivo svojstvo: njegov kvadrat također završava na 40081787109376. broj x40081787109376, koji je (x40081787109376)² također završava na x40081787109376.

Savjet. Imamo 40081787109376²= 16065496 57881340081787109376, dakle sljedeća znamenka je komplement od tri do deset, što je 7. Provjerimo: 740081787109376²= 5477210516110077400817 87109376.

Pitanje zašto je to tako je teško. Lakše je: pronađite slične završetke za brojeve koji završavaju na 5. Nastavljajući proces traženja sljedećih znamenki na neodređeno vrijeme, doći ćemo do takvih "brojeva" da ²=²= (i nijedan od ovih brojeva nije jednak nuli ili jedan).

dobro razumijemo. Što je dalje iza decimalne točke, broj je manje važan. U inženjerskim proračunima važna je prva znamenka iza decimalne točke, kao i druga, ali se u mnogim slučajevima može pretpostaviti da je omjer opsega kruga i njegovog promjera 3,14. Naravno, u zrakoplovnu industriju treba uključiti više brojeva, ali mislim da ih neće biti više od deset.

Ime se pojavilo u naslovu članka Stanislav Lem (1921.-2006.), kao i naš novi nobelovac. Dama Olga Tokarčuk Ovo sam spomenuo samo zato što vrišteći nepravdaČinjenica je da Stanislav Lem nije dobio Nobelovu nagradu za književnost. Ali nije u našem kutu.

Lem je često predviđao budućnost. Pitao se što će se dogoditi kada postanu neovisni o ljudima. Koliko se filmova na ovu temu pojavilo u posljednje vrijeme! Lem je prilično točno predvidio i opisao optički čitač i farmakologiju budućnosti.

Znao je matematiku, iako se ponekad prema njoj odnosio kao prema ukrasu, ne mareći za ispravnost izračuna. Primjerice, u priči “Iskušenje” Pirksov pilot odlazi u orbitu B68 s periodom rotacije od 4 sata i 29 minuta, a instrukcija je 4 sata i 26 minuta. Prisjeća se da su izračunali s greškom od 0,3 posto. On daje podatke Kalkulatoru, a kalkulator odgovara da je sve u redu... Pa ne. Tri desetinke postotka od 266 minuta manje je od minute. Ali mijenja li ova greška nešto? Možda je to bilo namjerno?

Zašto pišem o ovome? Mnogi matematičari također su postavili ovo pitanje: zamislite zajednicu. Oni nemaju naš ljudski um. Za nas su 1609,12134 i 1609,23245 vrlo bliski brojevi - dobre aproksimacije engleske milje. Međutim, računala mogu smatrati da su brojevi 468146123456123456 i 9999999123456123456 bliski. Imaju iste završetke od dvanaest znamenki.

Što su uobičajene znamenke na kraju, to su brojevi bliži. A to dovodi do takozvane udaljenosti -adić. Neka p bude na trenutak jednak 10; zašto samo "neko vrijeme", objasnit ću ... sada. Udaljenost od 10 točaka gore napisanih brojeva je 

ili milijunti - jer ti brojevi imaju šest zajedničkih znamenki na kraju. Svi cijeli brojevi razlikuju se od nule za jedan ili manje. Šablon neću ni napisati jer nema veze. Što je više identičnih brojeva na kraju, to su brojevi bliži (za osobu se, naprotiv, uzimaju u obzir početni brojevi). Važno je da p bude prost broj.

Zatim - vole nule i jedinice, pa sve vide u ovim obrascima: 0100110001 1010101101010101011001010101010101111.

U romanu Glos Pana Stanisław Lem unajmljuje znanstvenike da pokušaju pročitati poruku poslanu iz zagrobnog života, naravno šifriranu nula-jedan. Piše li nam netko? Lem tvrdi da se "bilo koja poruka može pročitati ako je to poruka da nam je netko htio nešto reći." Ali je li? Ostavit ću čitatelje s ovom dilemom.

Živimo u XNUMXD prostoru R³. Pismo R podsjeća da se osi sastoje od realnih brojeva, tj. cijelih brojeva, negativnih i pozitivnih, nula, racionalnih (tj. razlomaka) i iracionalnih, koje su čitatelji upoznali u školi (), i brojeva poznatih kao transcendentalni brojevi, nedostupni u algebri (ovo je broj π , koji povezuje promjer kruga s njegovim opsegom više od dvije tisuće godina).

Što ako su osi našeg prostora -adični brojevi?

Jerzy Mioduszowski, matematičar sa Sveučilišta u Šleskoj, tvrdi da bi to moglo biti tako, pa čak i da bi moglo biti tako. Možemo (kaže Jerzy Mioduszewski) s takvim bićima zauzeti isto mjesto u prostoru, a da se ne miješamo i ne vidimo jedno drugo.

Dakle, imamo svu geometriju "njihovog" svijeta za istraživanje. Malo je vjerojatno da “oni” misle na isti način o nama i proučavaju našu geometriju, jer je naš granični slučaj svih “njihovih” svjetova. „Oni“, odnosno svi pakleni svjetovi, gdje su prosti brojevi. Konkretno, = 2 i ovaj fascinantan svijet nula-jedan...

Ovdje se čitatelj članka može naljutiti, pa čak i naljutiti. "Jesu li to takve gluposti koje matematičari rade?" Maštaju o tome da nakon večere popiju votku, s mojim (=poreznim) novcem. I rastjerajte ih u četiri vjetra, neka idu na državne farme ... ma, nema više državnih farmi!

Opustiti. uvijek su imali sklonost takvim šalama. Samo da spomenem teorem o sendviču: ako imam sendvič sa sirom i šunkom, mogu ga prerezati na jedan rez da prepolovim lepinju, šunku i sir. Ovo je beskorisno u praksi. Poanta je da je ovo samo razigrana primjena zanimljivog općeg teorema iz funkcionalne analize.

Koliko je ozbiljno baviti se -adskim brojevima i povezanom geometrijom? Dopustite da podsjetim čitatelja da racionalni brojevi (pojednostavljeno: razlomci) gusto leže na liniji, ali je ne ispunjavaju usko.

Iracionalni brojevi žive u “rupama”. Ima ih mnogo, beskonačno mnogo, ali možete reći i da je njihova beskonačnost veća od one najjednostavnijih, u kojima brojimo: jedan, dva, tri, četiri... i tako dalje do ∞. To je naše ljudsko popunjavanje “rupa”. Ovu mentalnu strukturu naslijedili smo od Pitagorejci. 

Ali ono što je za matematičara zanimljivo i važno jest da se te rupe ne mogu "popuniti" iracionalnim i p-adskim brojevima (za sve proste brojeve p). Za one čitatelje koji to razumiju (a to se učilo u svakoj srednjoj školi prije trideset godina), poanta je da svaki slijed koji zadovoljava Cauchyjevo stanje, konvergira.

Prostor u kojem je to istina naziva se potpun ("ništa ne nedostaje"). Zapamtit ću broj 547721051611007740081787109376.

Niz 0,5, 0,54, 0,547, 0,5477, 0,54772 i tako dalje konvergira do određene granice, koja je približno 0,5477210516110077400 81787109376.

Međutim, s gledišta 10-adične udaljenosti, niz brojeva 6, 76, 376, 9376, 109376, 7109376 i tako dalje također konvergira na "čudan" broj ... 547721051 611007740081787109376.

Ali ni to možda nije dovoljan razlog da se znanstvenicima da javni novac. Općenito, mi (matematičari) se branimo da je nemoguće predvidjeti za što će naše istraživanje biti korisno. Gotovo je sigurno da će svi biti od neke koristi i da samo djelovanje na širem planu ima šanse za uspjeh.

Jedan od najvećih izuma, rendgenski aparat, nastao je nakon što je slučajno otkrivena radioaktivnost bekerel. Da nije ovog slučaja, dugogodišnja istraživanja vjerojatno bi bila beskorisna. "Tražimo način da napravimo rendgenski snimak ljudskog tijela."

Konačno, ono najvažnije. Svi se slažu da sposobnost rješavanja jednadžbi igra ulogu. I ovdje su naši čudni brojevi dobro zaštićeni. Odgovarajući teorem (Mrzim Minkowskog) kaže da se neke jednadžbe mogu riješiti u racionalnim brojevima ako i samo ako imaju realne korijene i korijene u svakom -adičnom tijelu.

Ovaj pristup je više-manje predstavljen Andrew Wiles, kojim je riješena najpoznatija matematička jednadžba u zadnjih tristo godina - čitateljima preporučam da je unesu u tražilicu "Fermatova posljednja teorema".