PA KOME, odnosno: PROBAJ GDJE MOŽEŠ - 2. dio

U prethodnoj epizodi bavili smo se Sudokuom, aritmetičkom igrom u kojoj su brojevi u osnovi poredani u razne dijagrame prema određenim pravilima. Najčešća varijanta je šahovnica 9×9, dodatno podijeljena na devet ćelija 3×3. Na njemu se moraju postaviti brojevi od 1 do 9 tako da se ne ponavljaju ni u okomitom redu (matematičari kažu: u stupcu) ili u vodoravnom redu (matematičari kažu: u redu) - i, štoviše, tako da ne ponavljaju. ponovite unutar bilo kojeg manjeg kvadrata.

Na sl. 1 ovu zagonetku vidimo u jednostavnijoj verziji, a to je kvadrat 6 × 6 podijeljen na pravokutnike 2 × 3. U nju ubacujemo brojeve 1, 2, 3, 4, 5, 6 - tako da se ne ponavljaju okomito, niti vodoravno, niti u svakom od odabranih šesterokuta.

Pokušajmo prikazano u gornjem kvadratu. Možete li ga ispuniti brojevima od 1 do 6 prema pravilima postavljenim za ovu igru? Moguće je – ali dvosmisleno. Da vidimo - nacrtajte kvadrat s lijeve strane ili kvadrat s desne strane.

Možemo reći da to nije osnova za slagalicu. Obično pretpostavljamo da zagonetka ima jedno rješenje. Zadatak pronalaženja različitih baza za "veliki" Sudoku, 9x9, težak je zadatak i nema šanse da se potpuno riješi.

Druga važna veza je kontradiktorni sustav. Donji srednji kvadrat (onaj s brojem 2 u donjem desnom kutu) ne može se dovršiti. Zašto?

Zabava i odmori

Igramo dalje. Koristimo se dječjom intuicijom. Vjeruju da je zabava uvod u učenje. Idemo u svemir. uključen sl. 2 svi vide mrežu tetraedarod loptica, na primjer, ping-pong loptica? Prisjetite se školskih lekcija geometrije. Boje na lijevoj strani slike objašnjavaju na što se lijepi pri sastavljanju bloka. Konkretno, tri kutne (crvene) kuglice bit će zalijepljene u jednu. Stoga moraju biti isti broj. Možda 9. Zašto? Zašto ne?

Oh, nisam to izrazio zadaci. Zvuči otprilike ovako: je li moguće upisati brojeve od 0 do 9 u vidljivu mrežu tako da svako lice sadrži sve brojeve? Zadatak nije težak, ali koliko trebate zamisliti! Neću pokvariti zadovoljstvo čitateljima i neću dati rješenje.

Ovo je vrlo lijep i podcijenjen oblik. pravilni oktaedar, izgrađen od dvije piramide (=piramide) s kvadratnom bazom. Kao što ime govori, oktaedar ima osam lica.

U oktaedru postoji šest vrhova. To je u suprotnosti kockakoji ima šest lica i osam vrhova. Rubovi obje grudice su isti - po dvanaest. Ovaj dvostruke čvrste tvari - to znači da spajanjem središta ploha kocke dobivamo oktaedar, a središta ploha oktaedra dat ćemo kocku. Oba ova udarca rade ("jer moraju") Eulerova formula: Zbroj broja vrhova i broja lica je 2 veći od broja bridova.

3. Pravilni oktaedar u paralelnoj projekciji i oktaedarska rešetka sastavljena od kugli na način da svaki brid ima četiri kugle.

Zadatak 1. Najprije zapišite posljednju rečenicu prethodnog odlomka koristeći matematičku formulu. Na sl. 3 vidite oktaedarsku mrežu, također sastavljenu od sfera. Svaki rub ima četiri kuglice. Svako lice je trokut od deset kugli. Problem se postavlja samostalno: je li moguće u krugove mreže staviti brojeve od 0 do 9 tako da nakon lijepljenja čvrstog tijela svaki zid sadrži sve brojeve (iz toga slijedi bez ponavljanja). Kao i prije, najveća poteškoća u ovom zadatku je kako se mreža pretvara u čvrsto tijelo. Ne mogu to pismeno objasniti, pa ni ovdje ne iznosim rješenje.

4. Dva ikosaedra iz ping-pong loptica. Obratite pažnju na različitu shemu boja.

već Platon (a živio je u XNUMX.-XNUMX. stoljeću prije Krista) poznavao sve pravilne poliedre: tetraedar, kocku, oktaedar, dodekaedar i ikosaedar. Nevjerojatno je kako je dospio tamo – bez olovke, bez papira, bez olovke, bez knjiga, bez pametnog telefona, bez interneta! Ovdje neću govoriti o dodekaedru. Ali ikosaedarski sudoku je zanimljiv. Vidimo ovu kvržicu na ilustracija 4i njegovu mrežu sl. 5.

5. Pravilna mreža ikosaedra.

Kao i prije, ovo nije rešetka u smislu u kojem se (?!) sjećamo iz škole, već način lijepljenja trokuta iz kuglica (loptica).

Zadatak 2. Koliko je kuglica potrebno da se izgradi takav ikosaedar? Vrijedi li još uvijek sljedeće razmišljanje: budući da je svako lice trokut, ako treba biti 20 lica, onda je potrebno čak 60 kugli?

6. Mreža ikosaedra iz sfera. Svaki krug je, na primjer, ping-pong loptica, ali se konstrukcija krugova na krugovima označenim istom bojom spaja u jednu. Dakle, imamo dvanaest sfera (= dvanaest vrhova: crvena, plava, ljubičasta, plava i osam žutih).

Lako je vidjeti da tri broja u ikosaedru nisu dovoljna. Točnije: nemoguće je nabrojati vrhove s brojevima 1, 2, 3 tako da svako (trokutasto) lice ima ta tri broja i da nema ponavljanja. Je li moguće s četiri broja? Da, moguće je! Pogledajmo Riža. 6 i 7.

7. Evo kako numerirati kugle koje čine ikosaedar tako da svako lice sadrži brojeve koji nisu 1, 2, 3, 4. Koje od tijela na sl. 4 je ovako obojen?

Zadatak 3. Tri od četiri broja mogu se izabrati na četiri načina: 123, 124, 134, 234. Pronađite pet takvih trokuta u ikosaedru na sl. 7 (kao i od ilustracije 4).

Vježba 4 (zahtijeva vrlo dobru prostornu maštu). Ikosaedar ima dvanaest vrhova, što znači da se može zalijepiti od dvanaest kuglica (sl. 7). Imajte na umu da postoje tri vrha (=kuglice) označena s 1, tri s 2 i tako dalje. Dakle, kuglice iste boje tvore trokut. Što je ovaj trokut? Možda jednakostraničan? Pogledaj opet ilustracije 4.

Sljedeći zadatak za djeda/baku i unuka/unuka. Napokon se i roditelji mogu okušati, ali im je potrebno strpljenje i vrijeme.

Zadatak 5. Kupite dvanaest (najbolje 24) ping-pong loptice, četiri boje boje, kist i pravo ljepilo - ne preporučam brze poput Supergluea ili Dropleta jer se prebrzo suše i opasne su za djecu. Zalijepite ikosaedar. Obucite svoju unuku u majicu koju ćete odmah nakon toga oprati (ili baciti). Pokrijte stol folijom (najbolje novinama). Pažljivo obojite ikosaedar s četiri boje 1, 2, 3, 4, kao što je prikazano na sl. sl. 7. Redoslijed možete mijenjati - prvo obojite balone, a zatim ih zalijepite. Istovremeno, sitni krugovi moraju ostati neobojeni kako se boja ne bi zalijepila za boju.

Sada je najteži zadatak (točnije, cijeli njihov slijed).

Vježba 6 (Točnije, opća tema). Nacrtajte ikosaedar kao tetraedar i oktaedar Riža. 2 i 3 To znači da na svakom rubu trebaju biti četiri kuglice. U ovoj varijanti, zadatak je i dugotrajan, pa čak i skup. Počnimo tako što ćemo saznati koliko vam je lopti potrebno. Svaka strana ima deset sfera, dakle ikosaedru treba dvjesto? Ne! Moramo zapamtiti da se mnoge lopte dijele. Koliko bridova ima ikosaedar? Može se mukotrpno izračunati, ali čemu služi Eulerova formula?

w–k+s=2

gdje su w, k, s broj vrhova, bridova i lica, redom. Sjećamo se da je w = 12, s = 20, što znači k = 30. Imamo 30 bridova ikosaedra. Možete to učiniti drugačije, jer ako ima 20 trokuta, onda oni imaju samo 60 bridova, ali dva su uobičajena.

Izračunajmo koliko vam je loptica potrebno. U svakom trokutu postoji samo jedna unutarnja lopta - ni na vrhu našeg tijela, ni na rubu. Dakle, imamo ukupno 20 takvih loptica. Ima 12 vrhova. Svaki rub ima dvije kuglice koje nisu vrhove (one su unutar ruba, ali ne i unutar lica). Budući da ima 30 rubova, ima 60 klikera, ali dva su zajednička, što znači da vam treba samo 30 klikera, tako da vam treba ukupno 20 + 12 + 30 = 62 klikera. Kuglice se mogu kupiti za najmanje 50 penija (obično skuplje). Ako dodate cijenu ljepila, izaći će ... puno. Dobro lijepljenje zahtijeva nekoliko sati mukotrpnog rada. Zajedno su prikladni za opuštajuću zabavu – preporučam ih umjesto, primjerice, gledanja televizije.

Povlačenje 1. U filmskom serijalu Andrzeja Wajde Godine, dani dvojica muškaraca igraju šah "jer moraju nekako proći vrijeme do večere". Događa se u galicijskom Krakowu. Doista: novine su već pročitane (tada su imale 4 stranice), TV i telefon još nisu izmišljeni, nema nogometnih utakmica. Dosada u lokvama. U takvoj situaciji ljudi su sami sebi smislili zabavu. Danas ih imamo nakon pritiska na daljinski...

Povlačenje 2. Na sastanku Udruge učitelja matematike 2019. španjolski profesor demonstrirao je računalni program koji može obojiti čvrste zidove u bilo koju boju. Bilo je malo jezivo, jer su nacrtali samo ruke, skoro odsjekli tijelo. Pomislio sam u sebi: koliko se možeš zabaviti od takvog "sjenčenja"? Za sve su potrebne dvije minute, a do četvrte se ne sjećamo ničega. U međuvremenu, staromodni "šiveni rad" smiruje i obrazuje. Tko ne vjeruje neka proba.

Vratimo se u XNUMX. stoljeće i u našu stvarnost. Ako ne želimo opuštanje u obliku mukotrpnog lijepljenja kuglica, tada ćemo nacrtati barem mrežu ikosaedra, čiji rubovi imaju četiri kuglice. Kako to učiniti? Isjeckajte ga ispravno sl. 6. Pažljivi čitatelj već pogađa problem:

Zadatak 7. Je li moguće nabrojati kuglice brojevima od 0 do 9 tako da se svi ti brojevi pojave na svakoj strani takvog ikosaedra?

Za što smo plaćeni?

Danas si često postavljamo pitanje svrhe našeg djelovanja, a "sivi porezni obveznik" će se zapitati zašto bi plaćao matematičarima da rješavaju takve zagonetke?

Odgovor je prilično jednostavan. Takve "zagonetke", zanimljive same po sebi, "djelić su nečeg ozbiljnijeg". Uostalom, vojne parade su samo vanjski, spektakularni dio teške službe. Navest ću samo jedan primjer, ali počet ću s čudnim, ali međunarodno priznatim matematičkim predmetom. Godine 1852. jedan engleski student upitao je svog profesora je li moguće obojiti kartu s četiri boje tako da se susjedne zemlje uvijek prikazuju različitim bojama? Dopustite mi da dodam da ne smatramo "susjedima" one koji se susreću samo u jednoj točki, kao što su države Wyoming i Utah u SAD-u. Profesor nije znao... a problem je čekao rješenje više od sto godina.

8. Ikosaedar iz RECO blokova. Reflektori bljeskalice pokazuju što ikosaedar ima zajedničko s trokutom i peterokutom. Pet trokuta konvergira u svakom vrhu.

Dogodilo se na neočekivan način. Godine 1976. grupa američkih matematičara napisala je program za rješavanje ovog problema (i odlučili su: da, četiri boje će uvijek biti dovoljne). Bio je to prvi dokaz matematičke činjenice dobivene uz pomoć "matematičkog stroja" - kako se računalo prije pola stoljeća zvalo (a i ranije: "elektronički mozak").

Ovdje je posebno prikazana “karta Europe” (sl. 9). One zemlje koje imaju zajedničku granicu su povezane. Bojenje karte je isto kao i bojanje krugova ovog grafa (koji se naziva graf) tako da nijedan povezani krug nije iste boje. Pogled na Lihtenštajn, Belgiju, Francusku i Njemačku pokazuje da tri boje nisu dovoljne. Ako želiš, Čitaoče, oboji ga u četiri boje.

9. Tko s kim graniči u Europi?

Pa da, ali je li to vrijedno novca poreznih obveznika? Pa pogledajmo isti grafikon malo drugačije. Zaboravite da postoje države i granice. Neka krugovi simboliziraju informacijske pakete koji se šalju s jedne točke na drugu (na primjer, od P do EST), a segmenti predstavljaju moguće veze, od kojih svaka ima svoju propusnost. Poslati što prije?

Prvo, pogledajmo vrlo pojednostavljenu, ali i vrlo zanimljivu situaciju s matematičke točke gledišta. Moramo poslati nešto od točke S (= kao početak) do točke M (= završetak) koristeći mrežu veze s istom širinom pojasa, recimo 1. To vidimo u sl. 10.

10. Mreža veza od Statsyika Zdrój do Megapolisa.

Zamislimo da je oko 89 bita informacija potrebno poslati od S do M. Autor ovih riječi voli probleme s vlakovima, pa zamišlja da je upravitelj u Stacie Zdrój, odakle mora poslati 144 vagona. do stanice metropole. Zašto baš 144? Jer, kao što ćemo vidjeti, to će se koristiti za izračunavanje propusnosti cijele mreže. Kapacitet je 1 u svakoj partiji, tj. jedan automobil može proći u jedinici vremena (jedan informacijski bit, moguće i Gigabyte).

Pobrinimo se da se svi automobili sastanu u isto vrijeme u M. Svi stignu tamo za 89 jedinica vremena. Ako moram poslati vrlo važan paket informacija od S do M, razbijem ga u grupe od 144 jedinice i proguram ga kao gore. Matematika jamči da će to biti najbrže. Kako sam znao da ti treba 89? Zapravo sam pogodio, ali da nisam pogodio, morao bih to shvatiti Kirchhoffove jednadžbe (sjeća li se netko? - ovo su jednadžbe koje opisuju tijek struje). Propusnost mreže je 184/89, što je približno jednako 1,62.

O radosti

Inače, sviđa mi se broj 144. Volio sam se voziti autobusom s ovim brojem do Trga dvorca u Varšavi – kad pokraj njega nije bilo obnovljenog Kraljevskog dvorca. Možda mladi čitatelji znaju što je tucet. To je 12 primjeraka, ali samo stariji čitatelji pamte da je desetak, odn. 122=144, ovo je tzv. lot. I to će odmah shvatiti svi koji matematiku znaju malo više od školskog programa sl. 10 imamo Fibonaccijeve brojeve i da je propusnost mreže blizu "zlatnog broja"

U Fibonaccijevom nizu, 144 je jedini broj koji je savršen kvadrat. Sto četrdeset četiri je također "radosni broj". Tako je indijski matematičar amater Dattatreya Ramachandra Caprecar 1955. nazvao je brojeve koji su djeljivi zbrojem njihovih sastavnih znamenki:

Kad bi to znao Adam Mickiewicz, sigurno bi u Dzyady napisao ne: „Od tuđe matere; krv mu stari njegovi junaci / I ime mu je četrdeset i četiri, samo elegantnije: A ime mu je sto četrdeset i četiri.

Zabavu shvatite ozbiljno

Nadam se da sam uvjerio čitatelje da su Sudoku zagonetke zabavna strana pitanja koja svakako zaslužuju da ih se shvati ozbiljno. Ne mogu dalje razvijati ovu temu. Oh, izračun pune propusnosti mreže prema prikazanom dijagramu sl. 9 pisanje sustava jednadžbi trajalo bi dva ili više sati - možda čak i desetke sekundi (!) rada na računalu.