Putovanje u nestvarni svijet matematike

Ovaj članak sam napisao u jednom od okruženja, nakon predavanja i vježbe na fakultetu informatike. Branim se od kritika na račun učenika ove škole, njihovog znanja, odnosa prema znanosti i, što je najvažnije, njihove nastavne sposobnosti. Ovo... nitko ih ne uči.

Zašto se tako branim? Iz jednostavnog razloga - u godinama sam kada, vjerojatno, svijet oko nas još nije shvaćen. Možda ih učim upregnuti i ispregnuti konje, a ne voziti auto? Možda ih naučim pisati perom? Iako imam bolje mišljenje o nekoj osobi, smatram se "sljedbenikom", ali...

Donedavno se u srednjoj školi govorilo o kompleksnim brojevima. I baš te srijede došao sam kući, dao otkaz - skoro nitko od učenika još nije naučio što je to i kako se koriste te brojke. Neki na svu matematiku gledaju kao guska na obojena vrata. Ali također sam bio iskreno iznenađen kada su mi rekli kako da učim. Jednostavno rečeno, svaki sat predavanja dva su sata domaće zadaće: čitanje udžbenika, učenje rješavanja zadataka na zadanu temu itd. Tako pripremljeni dolazimo na vježbe, gdje sve usavršavamo... Ugodno, studenti su, očito, mislili da sjedenje na predavanju - najčešće gledajući kroz prozor - već jamči ulazak znanja u glavu.

Stop! Dosta ovoga. Opisat ću svoj odgovor na pitanje koje sam dobio na satu sa suradnicima iz Nacionalnog dječjeg fonda, ustanove koja podržava talentiranu djecu iz cijele zemlje. Pitanje (ili bolje rečeno prijedlog) je bilo:

— Možete li nam reći nešto o nestvarnim brojevima?

“Naravno”, odgovorio sam. 

Realnost brojeva

“Prijatelj je drugo ja, prijateljstvo je omjer brojeva 220 i 284”, rekao je Pitagora. Ovdje se radi o tome da je zbroj djelitelja 220 284, a zbroj djelitelja 284 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Još jedna zanimljiva podudarnost između brojeva 220 i 284 je ova: sedamnaest najviših prostih brojeva su 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53 , i 59.

Njihov zbroj je 2x220, a zbroj kvadrata je 59x284.

Prvi. Ne postoji koncept "stvarnog broja". To je kao da nakon čitanja članka o slonovima pitate: "Sada ćemo pitati za ne-slonove." Postoje cjeloviti i necjeloviti, racionalni i iracionalni, ali ne postoje nestvarni. Posebno: brojevi koji nisu stvarni ne nazivaju se nevažećim. U matematici postoji mnogo vrsta "brojeva", a međusobno se razlikuju, poput - da uzmemo zoološku usporedbu - slona i gliste.

Drugo, izvršit ćemo operacije za koje možda već znate da su zabranjene: vađenje kvadratnih korijena negativnih brojeva. Pa, matematika će prevladati takve barijere. Ima li to smisla? U matematici, kao i u bilo kojoj drugoj znanosti, hoće li neka teorija zauvijek ući u skladište znanja ovisi ... o njezinoj primjeni. Ako je beskoristan, onda završi u smeću, pa u nekom smeću povijesti znanja. Bez brojeva o kojima govorim na kraju ovog članka nemoguće je razvijati matematiku. Ali počnimo s malim stvarima. Što su pravi brojevi, znate. Brojevnu crtu ispunjavaju gusto i bez razmaka. Znate i što su prirodni brojevi: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - svi oni neće stati u sjećanje čak i najveće. Imaju i lijepo ime: prirodni. Imaju toliko zanimljivih svojstava. Kako vam se sviđa ovo:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

“Prirodno je zanimati se za prirodne brojeve”, rekao je Karl Lindenholm, a Leopold Kronecker (1823–1891) je jezgrovito rekao: “Bog je stvorio prirodne brojeve – sve ostalo je djelo čovjeka!” Razlomci (koje matematičari nazivaju racionalnim brojevima) također imaju nevjerojatna svojstva:

i u jednakosti:

možete, počevši s lijeve strane, trljati pluseve i zamijeniti ih znakovima množenja - i jednakost će ostati istinita:

I tako dalje.

Kao što znate, za razlomke a / b, gdje su a i b cijeli brojevi, a b ≠ 0, kažu racionalni broj. Ali samo na poljskom se tako zovu. Govore engleski, francuski, njemački i ruski. racionalni broj. Na engleskom: racionalni brojevi. Iracionalni brojevi to je iracionalno, iracionalno. Također govorimo poljski o iracionalnim teorijama, idejama i djelima - to je ludost, imaginarno, neobjašnjivo. Kažu da se žene boje miševa – nije li to tako iracionalno?

U davna vremena brojevi su imali dušu. Svaki je nešto značio, svaki je nešto simbolizirao, svaki je odražavao djelić tog sklada Univerzuma, to jest, na grčkom, Kozmosa. Sama riječ "kosmos" znači upravo "red, red". Najvažniji su bili šest (savršen broj) i deset, zbroj uzastopnih brojeva 1+2+3+4, sastavljen od drugih brojeva, čija se simbolika održala do danas. Dakle, Pitagora je učio da su brojevi početak i izvor svega, a samo otkriće iracionalni brojevi okrenuo pitagorejski pokret prema geometriji. Znamo obrazloženje iz škole da

√2 je iracionalan broj

Jer pretpostavimo da postoji: i da se ovaj razlomak ne može smanjiti. Konkretno, i p i q su neparni. Kvadirajmo: 2q²=p². Broj p ne može biti neparan, budući da je tada p² također bi bilo, a lijeva strana jednakosti je višekratnik 2. Dakle, p je paran, tj. p = 2r, dakle p²= 4r². Reduciramo jednadžbu 2q²= 4r² za 2. Dobivamo q²= 2r² i vidimo da q također mora biti paran, što smo pretpostavili da nije tako. Dobivena proturječnost dovršava dokaz - ova formula se često može naći u svakoj matematičkoj knjizi. Ovaj posredni dokaz je omiljeni trik sofista.

Pitagorejci nisu mogli razumjeti ovu neizmjernost. Sve se mora moći opisati brojevima, a dijagonala kvadrata, koju svatko može povući štapom po pijesku, nema, odnosno mjerljivu, duljinu. “Naša je vjera bila uzaludna”, čini se da kažu pitagorejci. Kako to? To je nekako... iracionalno. Unija se pokušala spasiti sektaškim metodama. Svatko tko se usudi otkriti svoje postojanje iracionalni brojevi, trebao biti kažnjen smrću, a, po svemu sudeći, prvu kaznu je izvršio sam gospodar.

Ali "misao je prošla neozlijeđena". Stiglo je zlatno doba. Grci su porazili Perzijance (Maraton 490, Blok 479). Ojačala se demokracija, nastali su novi centri filozofske misli i nove škole. Pitagorejci su se još uvijek borili s iracionalnim brojevima. Neki su propovijedali: nećemo shvatiti ovu misteriju; možemo samo promatrati i diviti se Unchartedu. Potonji su bili pragmatičniji i nisu poštovali Misterij. Tada su se pojavile dvije mentalne konstrukcije koje su omogućile razumijevanje iracionalnih brojeva. Činjenica da ih danas dovoljno dobro razumijemo pripada Eudoksu (XNUMX. st. pr. Kr.), a tek je krajem XNUMX. stoljeća njemački matematičar Richard Dedekind dao Eudoksovu teoriju pravi razvoj u skladu sa zahtjevima rigorozne matematička logika.

Masa figura ili mučenje

Biste li mogli živjeti bez brojeva? Čak i kad bi život bio... Morali bismo ići u trgovinu kupiti cipele štapom, kojem smo prethodno izmjerili dužinu stopala. “Ja bih jabuke, ah, evo je!” – pokazivali bismo prodavačima na tržnici. "How far is from Modlin to Nowy Dwur Mazowiecki"? "Prilično blizu!"

Za mjerenje se koriste brojevi. Uz njihovu pomoć izražavamo i mnoge druge pojmove. Na primjer, skala karte pokazuje koliko se područje zemlje smanjilo. Ljestvica dva prema jedan, ili jednostavno 2, izražava činjenicu da je nešto udvostručeno. Recimo matematički: svakoj homogenosti odgovara broj – njegova ljestvica.

zadatak. Napravili smo kserografsku kopiju, uvećavajući sliku nekoliko puta. Zatim je povećani fragment ponovno povećan b puta. Koja je opća skala povećanja? Odgovor: a × b pomnoženo s b. Ove skale treba pomnožiti. Broj "minus jedan", -1, odgovara jednoj preciznosti koja je centrirana, tj. zakrenuta za 180 stupnjeva. Koji broj odgovara zaokretu od 90 stupnjeva? Ne postoji takav broj. Je, jest… ili bolje rečeno, bit će uskoro. Jeste li spremni za moralnu torturu? Hrabro se i uzmi kvadratni korijen od minus jedan. Slušam? Što ne možeš? Uostalom, rekao sam ti da budeš hrabar. Izvuci! Hej, dobro, povuci, povuci... Ja ću pomoći... Evo: -1 Sad kad ga imamo, pokušajmo ga iskoristiti... Naravno, sada možemo izvući korijene svih negativnih brojeva, za primjer.:

√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1

“Bez obzira na duševnu bol koju to podrazumijeva.” To je ono što je Girolamo Cardano napisao 1539. godine, pokušavajući prevladati mentalne poteškoće povezane s - kako se to ubrzo počelo zvati - imaginarne količine. Smatrao je ove...

...zadatak. Podijeli 10 na dva dijela, čiji je umnožak 40. Sjećam se da je iz prethodne epizode napisao nešto ovako: Svakako nemoguće. No, učinimo ovo: podijelimo 10 na dva jednaka dijela, svaki jednak 5. Pomnožimo ih - ispalo je 25. Od dobivenih 25 sada oduzmite 40, ako želite, i dobit ćete -15. Sada pogledajte: √-15 zbrojeno i oduzeto od 5 daje vam proizvod od 40. Ovo su brojevi 5-√-15 i 5 + √-15. Provjeru rezultata proveo je Cardano na sljedeći način:

“Bez obzira na bol koju to podrazumijeva, pomnožite 5 + √-15 s 5-√-15. Dobivamo 25 - (-15), što je jednako 25 + 15. Dakle, proizvod je 40 .... Stvarno je teško."

Pa, koliko je: (1 + √-1) (1-√-1)? Umnožimo se. Zapamtite da je √-1 × √-1 = -1. Sjajno. Sada teži zadatak: od a + b√-1 do ab√-1. Što se dogodilo? Svakako, ovako: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Što je tu zanimljivo? Na primjer, činjenica da možemo faktorizirati izraze koje "prije nismo znali". Skraćena formula za množenje za²-b² Sjećate li se formule za²+b² nije, jer nije moglo biti. U domeni realnih brojeva, polinom²+b² to je neizbježno. Označimo "naš" kvadratni korijen od "minus jedan" slovom i.²= -1. To je "nestvaran" prost broj. I to je ono što opisuje zaokret aviona za 90 stupnjeva. Zašto? Nakon svega,²= -1, a kombinacija jedne rotacije od 90 stupnjeva i druge rotacije od 180 stupnjeva daje rotaciju od 45 stupnjeva. Koja je vrsta rotacije opisana? Očito zaokret od XNUMX stupnjeva. Što znači -i? Malo je kompliciranije:

(-ja)² = -i × (-i) = +i² = -1

Dakle -i također opisuje rotaciju od 90 stupnjeva, samo u suprotnom smjeru od i-ove rotacije. Koji je lijevi, a koji desni? Morate zakazati termin. Pretpostavljamo da broj i određuje rotaciju u smjeru koji matematičari smatraju pozitivnim: suprotno od kazaljke na satu. Broj -i opisuje rotaciju u smjeru kretanja kazaljki.

Ali postoje li brojevi poput i i -i? Jesu! Upravo smo ih oživjeli. Slušam? Da postoje samo u našoj glavi? Pa, što očekivati? Svi ostali brojevi također postoje samo u našem umu. Moramo vidjeti hoće li naši novorođenčadi preživjeti. Točnije, je li dizajn logičan i hoće li za nešto biti od koristi. Vjerujte mi na riječ da je sve u redu i da su ovi novi brojevi stvarno od pomoći. Brojevi poput 3+i, 5-7i, općenito: a+bi nazivaju se kompleksnim brojevima. Pokazao sam vam kako ih možete dobiti okretanjem aviona. Mogu se unijeti na različite načine: kao točke ravnine, kao neki polinomi, kao neka vrsta brojčanih nizova... i svaki put su isti: jednadžba x² +1=0 nema elementa... hokus pokus je već tu!!!! Radujmo se i veselimo!!!

Kraj turneje

Ovim je naš prvi obilazak zemlje lažnih brojeva završen. Od ostalih nezemaljskih brojeva, spomenut ću i one koji imaju beskonačan broj znamenki ispred, a ne iza (oni se zovu 10-adic, za nas su važniji p-adic, gdje je p prost broj), jer primjer X = … … … 96109004106619977392256259918212890625

Izbrojimo X molim². Kao? Što ako izračunamo kvadrat broja iza kojeg slijedi beskonačan broj znamenki? Pa, učinimo isto. Znamo da je x² = H.

Nađimo još jedan takav broj s beskonačnim brojem znamenki ispred koji zadovoljava jednadžbu. Savjet: kvadrat broja koji završava na šest također završava na šest. Kvadrat broja koji završava na 76 također završava na 76. Kvadrat broja koji završava na 376 također završava na 376. Kvadrat broja koji završava na 9376 također završava na 9376. Kvadrat broja koji završava na XNUMX na… Postoje i brojevi koji su toliko mali da, budući da su pozitivni, ostaju manji od bilo kojeg drugog pozitivnog broja. Toliko su maleni da ih je ponekad dovoljno kvadrirati da dobijete nulu. Postoje brojevi koji ne zadovoljavaju uvjet a × b = b × a. Postoje i beskonačni brojevi. Koliko ima prirodnih brojeva? Beskonačno mnogo? Da, ali koliko? Kako se to može izraziti kao broj? Odgovor: najmanji od beskonačnih brojeva; označena je lijepim slovom: A i dopunjena nultim indeksom A₀ , aleph-nula.

Postoje i brojke za koje ne znamo da postoje... ili za koje možete vjerovati ili ne vjerovati kako hoćete. A kad govorimo o sličnom: nadam se da vam se i dalje sviđaju Nestvarni brojevi, brojevi fantasy Species.