Zašto ne podijelimo s nulom?

Čitatelji se mogu zapitati zašto posvećujem cijeli članak tako banalnoj temi? Razlog je nevjerojatan broj studenata (!) koji ležerno izvode operaciju pod imenom. I ne samo studenti. Ponekad uhvatim i učitelje. Što će učenici takvih učitelja moći iz matematike? Neposredan povod za pisanje ovog teksta bio je razgovor s učiteljicom kojoj dijeljenje s nulom nije predstavljalo problem...

S nulom, da, osim gnjavaže ama baš ništa, jer je zapravo ne trebamo koristiti u svakodnevnom životu. Ne idemo u kupovinu bez jaja. “U sobi je jedna osoba” zvuči nekako prirodno, a “nula ljudi” zvuči umjetno. Lingvisti kažu da je nula izvan jezičnog sustava.

Možemo i bez nule na bankovnim računima: samo koristite - kao na termometru - crvenu i plavu za pozitivne i negativne vrijednosti (imajte na umu da je za temperaturu prirodno koristiti crvenu za pozitivne brojeve, a za bankovne račune je obrnuto, jer bi zaduženje trebalo pokrenuti upozorenje, pa se crveno preporučuje).

Uključivanjem nule kao prirodnog broja dotičemo se problema diferencijacije kardinalni brojevi od kućanstvo. Unutar 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ....

snaga broja je ista kao i broj mjesta gdje stoji. Inače je već u nizu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..

Broj jednostrukih skupova je na drugom mjestu, broj skupova s ​​dva elementa na trećem, i tako dalje. Moramo objasniti zašto, primjerice, ne numeriramo mjesta sportaša na natjecanjima od nule. Zatim bi prvoplasirani dobio srebrnu medalju (zlato je pripalo nultom), i tako dalje. Donekle sličan postupak bio je u nogometu - ne znam znaju li Čitatelji da "liga jedan" znači " slijedeći najbolje." “, a nulta liga je pozvana da postane “glavna liga”.

Ponekad čujemo argument da moramo krenuti od nule, jer je to zgodno za IT ljude. Nastavljajući ova razmatranja, definiciju kilometra treba promijeniti - trebao bi biti 1024 m, jer je to broj bajtova u kilobajtu (pozvat ću se na šalu poznatu informatičarima: “Koja je razlika između brucoša i student informatike i student pete godine ovog fakulteta? da je kilobajt 1000 kilobajta, zadnji - da je kilometar 1024 metra")!

Još jedno gledište, koje već treba shvatiti ozbiljno, jest ovo: uvijek mjerimo od nule! Dovoljno je pogledati bilo koju vagu na ravnalu, na kućnoj vagi, čak i na satu. Budući da mjerimo od nule, a brojanje se može shvatiti kao mjerenje s bezdimenzionalnom jedinicom, onda bismo trebali računati od nule.

To je jednostavna stvar, ali...

Ostavimo se općeg razmišljanja i vratimo se dijeljenju s nulom. Stvar je jednostavna i bila bi jednostavna da nije... pa što? Razmislimo i probajmo. Koliko može biti - jedan podijeljen s nulom? Pogledajmo: 1/0 = x. Pomnožite obje strane s nazivnikom lijeve strane.

Dobivamo 1=0. Nešto nije u redu! Što se dogodilo? Ah pogodi! Pretpostavka da postoji kvocijent jedinice i nule dovodi do kontradikcije. A ako se jedan ne može podijeliti s nulom, onda može drugi broj. Ako, čitatelju, slegneš ramenima i pitaš se zašto autor (odnosno ja) piše o takvim floskulama, onda... jako mi je drago!

Formula 0/0 = 0 mogla bi se tvrdoglavo braniti, ali je u suprotnosti s pravilom da je rezultat dijeljenja broja sam po sebi jednak jedan. Apsolutno, ali sasvim drugačiji su simboli kao što su 0/0, °/° i slično u računici. Oni ne znače nikakav broj, već su simbolične oznake za određene nizove određenih tipova.

U knjizi o elektrotehnici pronašao sam zanimljivu usporedbu: dijeljenje s nulom jednako je opasno kao i visokonaponska struja. To je normalno: Ohmov zakon kaže da je omjer napona i otpora jednak struji: V = U / R. Da je otpor jednak nuli, teoretski beskonačna struja bi tekla kroz vodič, spalivši sve moguće vodiče.

Jednom sam napisao pjesmu o opasnostima dijeljenja s nulom za svaki dan u tjednu. Sjećam se da je najdramatičniji dan bio četvrtak, ali šteta za sav moj rad na ovom području.

Kad nešto podijelite s nulom

U ponedjeljak vrlo rano

Tjedan što se upravo dogodilo

Već ste podbacili.

Kad je u utorak poslijepodne

Stavljate nulu u nazivnik

Reći ću ti onda da si u krivu

Loš matematičar!

Kada kroz nulu, kroz perverziju,

Želim se rastati u srijedu

Uvalit ćete u velike probleme

Imaš sijena i vode u glavi!

S nama je bio izvjesni Bartek.

Bio je u suprotnosti s pravilima.

U četvrtak je djeljivo s nulom.

On više nije među nama!

Ako te obuzme čudna želja

Podijelite s nulom u petak

Bit ću iskren, bit ću iskren:

Loš početak ovog vikenda.

Kad je nula, negdje u subotu

Razdjelnik će biti vaš (ne podebljan)

Kleknite ispod crkvene ograde.

Ovo je tvoje uskrsnuće.

Želite li nulu ispod crtice,

Napravite praznik u nedjelju

Ponesite kredu, crnu ploču.

Napiši: nije djeljivo s nulom!

Nula je povezana s prazninom i ništavilom. Doista, on je došao do matematike kao veličine koja je, kada se doda ni jednoj, ne mijenja: x + 0 = x. Ali sada se nula pojavljuje u nekoliko drugih vrijednosti, ponajviše kao početak skale. Ako izvan prozora nema ni pozitivne temperature ni mraza, onda ... ovo je nula, što ne znači da uopće nema temperature. Spomenik nulte klase nije onaj koji je odavno srušen i jednostavno ne postoji. Naprotiv, to je nešto poput Wawela, Eiffelovog tornja i Kipa slobode.

Pa, važnost nule u pozicijskom sustavu teško se može precijeniti. Znaš li, čitatelju, koliko nula ima Bill Gates na svom bankovnom računu? Ne znam, ali ja bih pola. Očigledno je Napoleon Bonaparte primijetio da su ljudi kao nule: stječu značenje kroz položaj. U filmu Andrzeja Wajde As the Years, As the Days Pass, strastveni umjetnik Jerzy eksplodira: "Philister je nula, nihil, ništa, ništa, nihil, nula." Ali nula može biti dobra: “nulto odstupanje od norme” znači da sve ide dobro, i nastavite tako!

Vratimo se matematici. Nula se može nekažnjeno zbrajati, oduzimati i množiti. "Udebljala sam se nula kilograma", kaže Anya Anyi. "A ovo je zanimljivo, jer sam isto smršavjela", odgovara Anya. Pa jedimo šest nula porcija sladoleda šest puta, neće nam škoditi.

Ne možemo podijeliti s nulom, ali možemo podijeliti s nulom. Tanjur nula knedli lako se može podijeliti onima koji čekaju hranu. Koliko će svaki dobiti?

Nula nije pozitivna ili negativna. Ovo i broj nepozitivnaи nenegativni. Zadovoljava nejednakosti x≥0 i x≤0. Kontradikcija "nešto pozitivno" nije "nešto negativno", već "nešto negativno ili jednako nuli". Matematičari će, suprotno pravilima jezika, uvijek reći da je nešto "jednako nuli", a ne "nula". Da bismo opravdali ovu praksu, imamo: ako čitamo formulu x = 0 "x je nula", tada x = 1 čitamo "x je jednako jedan", što bi se moglo progutati, ali što je s "x = 1534267"? Također ne možete dodijeliti numeričku vrijednost znaku 0⁰niti podići nulu na negativan stepen. S druge strane, možete root nulu po volji... i rezultat će uvijek biti nula. 

Eksponencijalna funkcija y = a^x, pozitivna baza a, nikada ne postaje nula. Iz toga slijedi da ne postoji nulti logaritam. Doista, logaritam od a prema bazi b je eksponent na koji se baza mora podići da bi se dobio logaritam od a. Za a = 0, takav pokazatelj ne postoji, a nula ne može biti baza logaritma. Međutim, nula u "nazivniku" Newtonovog simbola je nešto drugo. Pretpostavljamo da ove konvencije ne dovode do proturječnosti.

lažni dokazi

Dijeljenje s nulom uobičajena je tema za lažne dokaze, a događa se čak i iskusnim matematičarima. Dopustite mi da vam navedem dva moja omiljena primjera. Prvi je algebarski. Ja ću "dokazati" da su svi brojevi jednaki. Pretpostavimo da postoje dva broja koja nisu jednaka. Dakle, jedan od njih je veći od drugog, neka je a > b. Pretpostavimo da je c njihova razlika

c \uXNUMXd a - b. Dakle, imamo a - b = c, odakle je a = b + c.

Oba dijela potonjeg množimo s a - b:

a² – ab = ab + ac – b2 – bc.

Prevodim ak na lijevu stranu, naravno da se sjećam promjene znaka:

a² - ab - ac = ab - b2 - bc.

Isključujem uobičajene čimbenike:

A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c),

Dijelim i imam ono što sam htio:

a = b.

I zapravo još čudnije, jer sam pretpostavio da je a > b, a dobio sam da je a = b. Ako je u gornjem primjeru "varanje" lako prepoznati, onda u geometrijskom dokazu ispod to nije tako lako. Dokazat ću da ... trapez ne postoji. Lik koji se obično naziva trapez ne postoji.

Ali pretpostavimo prvo da postoji takva stvar kao što je trapez (ABCD na donjoj slici). Ima dvije paralelne strane ("baze"). Rastegnimo ove baze, kao što je prikazano na slici, tako da dobijemo paralelogram. Njegove dijagonale dijele drugu dijagonalu trapeza na segmente čije su duljine označene x, y, z, kao u slika 1. Iz sličnosti odgovarajućih trokuta dobivamo proporcije:

gdje definiramo:

Oraz

gdje definiramo:

Oduzmite stranice jednakosti označene zvjezdicama:

 Skrativši obje stranice za x − z, dobivamo – a/b = 1, što znači da je a + b = 0. Ali brojevi a, b su duljine osnovica trapeza. Ako je njihov zbroj nula, onda su i oni nula. To znači da lik poput trapeza ne može postojati! A budući da su pravokutnici, rombovi i kvadrati također trapezi, onda, dragi čitatelju, nema ni rombova, pravokutnika i kvadrata ...

pogodi pogodi

Dijeljenje informacija najzanimljivija je i najizazovnija od četiri osnovne aktivnosti. Ovdje se prvi put susrećemo s fenomenom tako uobičajenim u odrasloj dobi: "pogodi odgovor, a onda provjeri jesi li pogodio". To je vrlo prikladno izrazio Daniel K. Dennett ("Kako napraviti pogreške?", u Kako je to – Znanstveni vodič kroz svemir, CiS, Varšava, 1997.):

Ova metoda „nagađanja“ ne ometa naš odrasli život – možda zato što je rano učimo i pogađanje nije teško. Ideološki, isti se fenomen javlja, na primjer, u matematičkoj (potpunoj) indukciji. Na istom mjestu “pogađamo” formulu, a zatim provjeravamo je li naša pretpostavka točna. Učenici uvijek pitaju: „Kako smo znali obrazac? Kako se može izvaditi?" Kad mi studenti postave ovo pitanje, njihovo pitanje pretvorim u šalu: "Znam to jer sam profesionalac, jer sam plaćen da znam." Učenicima u školi može se odgovoriti u istom stilu, samo ozbiljnije.

vježba. Imajte na umu da zbrajanje i zapisano množenje počinjemo s najnižom jedinicom, a dijeljenje s najvećom jedinicom.

Kombinacija dviju ideja

Učitelji matematike uvijek su isticali da je ono što nazivamo razdvajanjem odraslih spoj dviju konceptualno različitih ideja: kućište i razdvajanje.

Prvi (kućište) javlja se u zadacima gdje je arhetip:

Podijeli-podijeli To su zadaci kao što su:

? (Zadržavamo izvorni stil ovog problema, preuzet iz priručnika Juliana Zgozalewicza objavljenog u Krakovu 1892. - zloti je rajnski zloti, valuta koja je bila u opticaju u Austro-Ugarskom Carstvu do početka XNUMX. stoljeća).

Sada razmotrite dva problema s najstariji udžbenik matematike na poljskom, otac Tomasz Clos (1538.). Je li to divizija ili kupe? Riješite to onako kako bi školarci u XNUMX stoljeću trebali:

(Prijevod s poljskog na poljski: U bačvi je litra i četiri lonca. Lonac je četiri litre. Netko je kupio 20 bačava vina za 50 zł za trgovinu. Carina i porez (trošarina?) bit će 8 zl. Koliko prodati litru da zaradite 8 zl?)

Sport, fizika, kongruencija

Ponekad u sportu morate nešto podijeliti s nulom (omjer golova). Pa suci se nekako nose s tim. Međutim, u apstraktnoj algebri oni su na dnevnom redu. veličine koje nisu nulačiji je kvadrat nula. To se čak može jednostavno objasniti.

Razmotrimo funkciju F koja povezuje točku (y, 0) s točkom u ravnini (x, y). Što je F², odnosno dvostruko izvršenje F? Nulta funkcija - svaka točka ima sliku (0,0).

Konačno, veličine različite od nule čiji je kvadrat 0 gotovo su svakodnevni kruh za fizičare, a brojevi oblika a + bε, gdje je ε ≠ 0, ali ε² = 0, nazivaju matematičari dvostruki brojevi. Javljaju se u matematičkoj analizi i u diferencijalnoj geometriji.

Uostalom, postoji nešto u aritmetici što ima dijeljenje s nulom barem u nazivu. Dolazi iz kongruencija. Neka Z označava skup cijelih brojeva. Dijeljenje skupa Z s p znači da svaki broj (cijeli broj) izjednačujemo s nekim drugim, naime s onima kojima je njihova razlika djeljiva. Dakle, kada imamo pet vrsta brojeva koji odgovaraju brojevima 0, 1, 2, 3, 4 - mogući ostaci kada se podijele s 5. Formula se piše ovako:

mod kada je razlika višestruka.

Za = 2 imamo samo dva broja: 0 i 1. Dijeljenje cijelih brojeva u dvije takve klase jednako je dijeljenju na parne i neparne. Zamijenimo ga sada. Razlika je uvijek djeljiva s 1 (bilo koji cijeli broj je djeljiv s 1). Je li moguće uzeti =0? Pokušajmo: kada je razlika dvaju brojeva višekratnik nule? Tek kada su ova dva broja jednaka. Dakle, dijeljenje skupa cijelih brojeva s nulom ima smisla, ali nije zanimljivo: ništa se ne događa. No, valja naglasiti da se ne radi o podjeli brojeva u smislu poznatom iz osnovne škole.

Takve radnje su jednostavno zabranjene, kao i duga i široka matematika.

Riža. 2. Identifikacija brojeva pomoću usporedbe

(način 5 i način 2)