Za novu školsku godinu

Većina čitatelja bila je negdje na odmoru – bilo u lijepoj našoj, u susjednim zemljama, a možda i u inozemstvu. Iskoristimo to dok su nam granice otvorene... Koji je bio najčešći znak na našim kratkim i dugim putovanjima? Ovo je strelica koja pokazuje prema izlazu s autoceste, nastavku planinske staze, ulazu u muzej, ulazu na plažu i tako dalje i tako dalje. Što je toliko zanimljivo u svemu tome? Matematički, ne toliko. Ali razmislimo: ovaj znak je svima očit ... predstavnici civilizacije u kojoj se nekoć pucalo u streljaštvo. Istina, nemoguće je to dokazati. Ne poznajemo nijednu drugu civilizaciju. Međutim, pravilni pentagon i njegova inačica u obliku zvijezde, pentagram, matematički su zanimljiviji.

Ne treba nam nikakvo obrazovanje da bi ove brojke bile intrigantne i zanimljive. Ako ste, čitatelju, pili konjak s pet zvjezdica u hotelu s pet zvjezdica na Place des Stars u Parizu, onda ste možda... rođeni pod sretnom zvijezdom. Kada nas netko zamoli da nacrtamo zvijezdu, mi ćemo bez zadrške nacrtati petokraku, a kada se sugovornik iznenadi: “Ovo je simbol bivšeg SSSR-a!”, možemo odgovoriti: Ergela!”.

Pentagram, ili zvijezda petokraka, pravilni pentagon, ovladalo je cijelom čovječanstvom. Najmanje četvrtina zemalja, uključujući SAD i bivši SSSR, uvrstila ga je u svoje ambleme. Kao djeca, naučili smo crtati zvijezdu petokraku bez podizanja olovke sa stranice. U odrasloj dobi ona postaje naša zvijezda vodilja, nepromjenjiva, daleka, simbol nade i sudbine, proročište. Pogledajmo to sa strane.

Što nam zvijezde govore?

Povjesničari se slažu da je do XNUMX. stoljeća prije Krista intelektualna baština naroda Europe ostala u sjeni kultura Babilona, ​​Egipta i Fenicije. I odjednom šesto stoljeće donosi renesansu i tako brz razvoj kulture i znanosti da neki novinari (npr. Daniken) tvrde - teško je reći vjeruju li i sami u to - da to ne bi bilo moguće bez intervencije zatvorenika. iz svemira.

Kada je riječ o Grčkoj, slučaj ima racionalno objašnjenje: kao rezultat seobe naroda, stanovnici poluotoka Peloponeza saznaju više o kulturi susjednih zemalja (primjerice, fenička slova prodiru u Grčku i poboljšavaju abecedu ), a sami počinju kolonizirati mediteranski bazen. To su uvijek vrlo povoljni uvjeti za razvoj znanosti: neovisnost u kombinaciji s kontaktima sa svijetom. Bez neovisnosti, osuđujemo se na sudbinu banana republika Srednje Amerike; bez kontakata, na Sjevernu Koreju.

Brojevi su važni

XNUMX. stoljeće prije Krista bilo je posebno stoljeće u povijesti čovječanstva. Ne znajući ili možda ne čujući jedno za drugo, tri velika mislioca su poučavala: Buda, Konfucije i Pitagora. Prve dvije stvorile su religije i filozofije koje su i danas žive. Je li uloga trećeg od njih ograničena na otkrivanje jednog ili drugog svojstva određenog trokuta?

Na prijelazu iz 624. u 546. stoljeće (oko XNUMX. - oko XNUMX. pr. Kr.) u Miletu u današnjoj Maloj Aziji živjeli su Takav. Neki izvori govore da je bio znanstvenik, drugi da je bio imućni trgovac, a treći ga nazivaju poduzetnikom (navodno je u godinu dana kupio sve preše za ulje, a zatim ih posudio uz lihvarsku isplatu). Neki ga pak, prema sadašnjoj modi i modelu bavljenja naukom, vide kao mecenu: navodno je pozvao mudrace, nahranio ih i počastio, a zatim rekao: “Pa radite na slavu ja i sva znanost." Međutim, mnogi ozbiljni izvori skloni su tvrditi da Thales, od krvi i mesa, uopće nije postojao, a njegovo je ime samo služilo kao personifikacija određenih ideja. Kako je bilo, tako je bilo, a vjerojatno nikada nećemo saznati. Povjesničar matematike E. D. Smith napisao je da nije bilo Talesa, ne bi bilo ni Pitagore, ni nikoga kao što je Pitagora, a bez Pitagore ne bi bilo ni Platona niti bilo koga poput Platona. Vjerojatnije. No, ostavimo po strani što bi se dogodilo da.

Pitagora (oko 572. - oko 497. pr. Kr.) poučavao je u Crotoneu u južnoj Italiji i tamo se rodio intelektualni pokret nazvan po majstoru: pitagorejstvo. Bio je to etičko-religijski pokret i udruženje utemeljeno, kako bismo ga danas nazvali, na tajnama i tajnim učenjima, smatrajući proučavanje znanosti jednim od sredstava za pročišćavanje duše. Tijekom života jedne ili dvije generacije, pitagoreizam je prošao uobičajene faze razvoja ideja: početni rast i ekspanziju, krizu i pad. Doista sjajne ideje ne završavaju svoje živote tamo i nikada ne umiru zauvijek. Intelektualno učenje Pitagore (smislio je termin koji je sebe nazivao: filozof, ili prijatelj mudrosti) i njegovih učenika dominiralo je cijelom antikom, zatim se vratilo u renesansu (pod imenom panteizam), a mi smo zapravo pod njegovim utjecajem. danas. Načela pitagorejstva toliko su ukorijenjena u kulturi (barem u Europi) da jedva shvaćamo da bismo mogli drugačije razmišljati. Iznenađeni smo ništa manje nego Molièreov Monsieur Jourdain, koji je bio iznenađen kada je saznao da je cijeli život govorio prozom.

Glavna ideja pitagorejstva bila je uvjerenje da je svijet ustrojen po strogom planu i skladu, te da je čovjekov poziv spoznati taj sklad. I upravo je razmišljanje o harmoniji svijeta ono što čini učenje pitagorejstva. Pitagorejci su zasigurno bili i mistici i matematičari, iako ih je tek danas lako klasificirati tako ležerno. Oni su utrli put. Počeli su proučavati harmoniju svijeta, prvo proučavajući glazbu, astronomiju, aritmetiku itd.

Iako je čovječanstvo podleglo magiji "zauvijek", samo ju je pitagorejska škola uzdigla do opće primjenjivog zakona. "Brojevi vladaju svijetom" – ovaj je slogan bio najbolja karakteristika škole. Brojevi imaju dušu. Svaki je nešto značio, svaki je nešto simbolizirao, svaki je odražavao česticu ove harmonije Univerzuma, tj. prostor. Sama riječ znači "red, red" (čitatelji znaju da kozmetika zaglađuje lice i pojačava ljepotu).

Različiti izvori daju različita značenja koja su pitagorejci davali svakom broju. Na ovaj ili onaj način, isti broj mogao bi simbolizirati nekoliko koncepata. Najvažnije su bile šest (savršen broj) i deset - zbroj uzastopnih brojeva 1 + 2 + 3 + 4, sastavljen od drugih brojeva, čija je simbolika preživjela do danas.

Dakle, Pitagora je učio da su brojevi početak i izvor svega, da se - ako zamislite - međusobno "miješaju", a mi vidimo samo rezultate onoga što čine. Stvorena, odnosno razvijena od Pitagore, mistika brojeva danas nema “dobar otisak”, pa čak i ozbiljni autori ovdje vide mješavinu “patosa i apsurda” ili “znanosti, mistike i čistog pretjerivanja”. Teško je razumjeti kako je slavni povjesničar Alexander Kravchuk mogao napisati da su Pitagora i njegovi učenici ispunili filozofiju vizijama, mitovima, praznovjerjima - kao da ništa ne razumije. Jer ovako izgleda samo sa stajališta našeg XNUMX. stoljeća. Pitagorejci se nisu ništa natezali, oni su svoje teorije stvarali u savršenoj savjesti. Možda će netko za nekoliko stoljeća napisati da je i cijela teorija relativnosti bila apsurdna, pretenciozna i isforsirana. A brojčana simbolika, koja nas je od Pitagore dijelila četvrt milijuna godina, duboko je prodrla u kulturu i postala njezinim dijelom, poput grčkih i njemačkih mitova, srednjovjekovnih viteških epova, ruskih narodnih priča o Kostu ili vizije Juliusza Slovaka. slavenski papa.

Tajanstvena iracionalnost

U geometriji su pitagorejci bili zadivljeni figurami-podobnymi. I upravo se u analizi Talesovog teorema, osnovnog zakona pravila sličnosti, dogodila katastrofa. Otkriveni su nesumjerljivi dijelovi, a time i iracionalni brojevi. Epizode koje se ne mogu mjeriti nikakvom općom mjerom. Brojevi koji nisu proporcije. I pronađen je u jednom od najjednostavnijih oblika: kvadrat.

Danas u školskoj znanosti tu činjenicu zaobilazimo, gotovo da je i ne primjećujemo. Dijagonala kvadrata je √2? Super, koliko to može biti? Pritisnemo dva gumba na kalkulatoru: 1,4142 ... Pa, već znamo koliki je kvadratni korijen od dva. Koji? Je li to iracionalno? Možda je to zato što koristimo tako čudan znak, ali ipak u stvari to je 1,4142. Uostalom, kalkulator ne laže.

Ako čitatelj misli da pretjerujem, onda ... vrlo dobro. Po svemu sudeći, poljske škole nisu tako loše kao, primjerice, britanske, gdje je sve neizmjernost negdje između bajki.

U poljskom, riječ "iracionalno" nije toliko strašna kao njezina pandan u drugim europskim jezicima. Racionalni brojevi postoje racionalni, racionalni, racionalni, t.j.

Razmotrimo obrazloženje da √2 to je iracionalan broj, to jest, nije bilo koji razlomak p/q, gdje su p i q cijeli brojevi. U modernim terminima, to izgleda ovako... Pretpostavimo da je √2 = p / q i da se taj razlomak više ne može skratiti. Konkretno, i p i q su neparni. Kvadirajmo: 2q²=p². Broj p ne može biti neparan, budući da je tada p² također bi bilo, a lijeva strana jednakosti je višekratnik 2. Dakle, p je paran, tj. p = 2r, dakle p²= 4r². Reduciramo jednadžbu 2q²= 4r². dobivamo d²= 2r² i vidimo da q također mora biti paran, što smo pretpostavili da nije tako. Primljeno kontradikcija dokaz završava - tu formulu tu i tamo možete pronaći u svakoj matematičkoj knjizi. Ovaj posredni dokaz je omiljeni trik sofista.

Naglašavam, međutim, da je to moderno razmišljanje – Pitagorejci nisu imali tako razvijen algebarski aparat. Tražili su zajedničku mjeru stranice kvadrata i njegove dijagonale, što ih je dovelo do ideje da takve zajedničke mjere ne može postojati. Pretpostavka o njegovom postojanju dovodi do kontradikcije. Tvrdo tlo mi je skliznulo ispod nogu. Sve bi se trebalo moći opisati brojevima, a dijagonala kvadrata, koju svatko može nacrtati štapom na pijesku, nema duljinu (odnosno mjerljiva je, jer nema drugih brojeva). “Naša je vjera bila uzaludna”, rekli bi pitagorejci. Što uraditi?

Sektaškim metodama pokušavali su se spasiti. Svatko tko se usudi otkriti postojanje iracionalnih brojeva bit će ubijen, a, očito, sam gospodar - suprotno zapovijedi blagosti - izvršava prvu rečenicu. Tada sve postaje zastor. Po jednoj verziji Pitagorejci su ubijeni (donekle spašeni i zahvaljujući njima cijela ideja nije odnesena u grob), po drugoj učenici sami, tako poslušni, protjeruju obožavanog učitelja i on negdje završava svoj život u progonstvu . Sekta prestaje postojati.

Svima nam je poznata izreka Winstona Churchilla: "Nikada u povijesti ljudskih sukoba toliko ljudi nije toliko dugovalo tako malom broju." Riječ je bila o pilotima koji su 1940. branili Englesku od njemačkih zrakoplova. Ako zamijenimo "ljudske sukobe" s "ljudskim mislima", tada se izreka odnosi na šačicu Pitagorejaca koji su pobjegli (tako malo) od pogroma na kraju XNUMX. XNUMX. st. pr.

Dakle, "misao je prošla neozlijeđena". Što je sljedeće? Zlatno doba dolazi. Grci pobjeđuju Perzijance (Maraton - 490. pr. Kr., Plaćanje - 479.). Demokracija je sve jača. Pojavljuju se novi centri filozofske misli i nove škole. Sljedbenici pitagorejstva suočeni su s problemom iracionalnih brojeva. Neki kažu: “Nećemo shvatiti ovu misteriju; možemo samo promatrati i diviti se Unchartedu." Potonji su pragmatičniji i ne poštuju Misterij: “Ako nešto nije u redu s ovim brojkama, pustimo ih na miru, nakon nekih 2500 godina sve će se saznati. Možda brojke ne vladaju svijetom? Počnimo s geometrijom. Više nisu važni brojevi, već njihovi omjeri i omjeri.

Pristaše prvog smjera poznati su povjesničarima matematike kao akustikaŽivjeli su još nekoliko stoljeća i to je to. Potonji su se sami pozvali matematika (od grč. mathein = znati, učiti). Ne trebamo nikome objašnjavati da je ovaj pristup pobijedio: živi dvadeset i pet stoljeća i uspijeva.

Pobjeda matematičara nad auzmatikom izražena je, posebice, u pojavi novog simbola Pitagorejaca: od sada je to bio pentagram (pentás = pet, gramma = slovo, natpis) - pravilan peterokut u obliku slova zvijezda. Njegove se grane sijeku krajnje proporcionalno: cjelina se uvijek odnosi na veći dio, a veći dio na manji dio. Zvao je božanska proporcija, zatim sekularizirana na zlato. Stari Grci (a iza njih cijeli eurocentrični svijet) vjerovali su da je taj omjer najprijatniji ljudskom oku i susreli su ga gotovo posvuda.

(Cyprian Camille Norwid, "Promethidion")

Završit ću s još jednim odlomkom, ovoga puta iz pjesme "Faust" (prijevod Vladislav August Kostelsky). Pa, pentagram je također slika pet osjetila i čuvene "čarobnjačke noge". U Goetheovoj pjesmi dr. Faust se želio zaštititi od đavla crtajući ovaj simbol na pragu svoje kuće. Učinio je to slučajno, a dogodilo se ovo:

Faust

M epistofela

Faust

A ovo je sve o uobičajenom peterokutu na početku nove školske godine.