Koronavirus i matematičko obrazovanje – djelomično naručene zbirke

Virus koji nas je pogodio pokreće brzu reformu obrazovanja. posebno na višim stupnjevima obrazovanja. Na ovu temu možete napisati duži esej, sigurno će biti niz doktorskih disertacija o metodologiji učenja na daljinu. S određene točke gledišta, ovo je povratak korijenima i zaboravljenim navikama samoučenja. Tako je bilo, primjerice, u gimnaziji Kremenets (u Kremencu, danas u Ukrajini, koja je postojala 1805-31, vegetirala do 1914, a svoj procvat doživjela 1922-1939). Učenici su tu učili sami - tek nakon što su naučili dolazili su profesori s ispravcima, završnim pojašnjenjima, pomoći u teškim situacijama itd. e. Kad sam postao student, također su govorili da trebamo sami stjecati znanje, da samo naručujemo i šaljemo predavanja na sveučilište. Ali tada je to bila samo teorija...

U proljeće 2020. nisam jedini koji je otkrio da se lekcije (uključujući predavanja, vježbe itd.) mogu vrlo učinkovito provoditi na daljinu (Google Meet, Microsoft Teams itd.), po cijenu puno posla sa strane učitelja i samo želja „obrazovati se“ s druge strane; ali i s nekom udobnošću: sjedim doma, u svojoj fotelji, a na tradicionalnim predavanjima studenti su često radili i nešto drugo. Učinak takvog treninga može biti čak i bolji nego kod tradicionalnog, srednjovjekovnog, razrednog sustava. Što će ostati od njega kad virus ode k vragu? Mislim… dosta. Ali vidjet ćemo.

Danas ću govoriti o djelomično naručenim setovima. Jednostavno je. Budući da se binarna relacija u nepraznom skupu X naziva relacija djelomičnog reda kada postoji

(Tadeusz Kotarbinski, 1886.-1981., filozof,

Predsjednik Poljske akademije znanosti 1957–1962).

1. Refleksivno, tj. za svaki ∈ postoji ",
2. Prolaznik, t.j. ako ", i ", onda ",
3. Poluasimetrično, tj («∧«)→ =

Niz je skup sa sljedećim svojstvom: za bilo koja dva elementa, ovaj skup je ili "ili y". Antilanac je...

Stani, stani! Može li se išta od ovoga razumjeti? Naravno da je. Ali je li netko od Čitatelja (znajući drugačije) već shvatio o čemu se ovdje radi?

Ne mislim! A ovo je kanon poučavanja matematike. Također u školi. Prvo, pristojna, stroga definicija, a onda će oni koji nisu zaspali od dosade sigurno nešto shvatiti. Ovu metodu nametnuli su "veliki" učitelji matematike. Mora biti oprezan i strog. Istina je da tako na kraju i treba biti. Matematika mora biti egzaktna znanost (vidi također: ).

Moram priznati da sam na sveučilištu na kojem radim nakon što sam otišao u mirovinu sa Sveučilišta u Varšavi, i predavao toliko godina. Samo u njemu bila je ozloglašena kanta hladne vode (neka tako i ostane: trebala je kanta!). Odjednom je visoka apstrakcija postala lagana i ugodna. Postavite pažnju: lako ne znači lako. Lagani boksač također teško prolazi.

Nasmiješim se svojim sjećanjima. Osnove matematike predavao mi je tadašnji dekan katedre, prvorazredni matematičar koji je upravo stigao s dugog boravka u Sjedinjenim Državama, što je u to vrijeme samo po sebi bilo nešto izvanredno. Mislim da je bila malo snobovska kad je malo zaboravila poljski. Zloupotrijebila je staro poljsko "što", "dakle", "azaleja" i skovala izraz: "poluasimetrična veza". Volim ga koristiti, stvarno je točan. Ja volim. Ali ja to ne zahtijevam od učenika. To se obično naziva "niska antisimetrija". Deset prekrasnih.

Davno, jer je sedamdesetih (prošlog stoljeća) došlo do velike, radosne reforme nastave matematike. To se poklopilo s početkom kratkog razdoblja vladavine Eduarda Giereka - izvjesnog otvaranja naše zemlje prema svijetu. "Djecu se također može poučavati višoj matematici", uzviknuli su Veliki Učitelji. Za djecu je sastavljen sažetak sveučilišnog predavanja "Osnove matematike". To je bio trend ne samo u Poljskoj, nego u cijeloj Europi. Rješavanje jednadžbe nije bilo dovoljno, trebalo je objasniti svaki detalj. Da ne budemo neutemeljeni, svaki od Čitatelja može riješiti sustav jednadžbi:

ali učenici su morali opravdati svaki korak, pozvati se na relevantne tvrdnje itd. Bio je to klasični višak forme nad sadržajem. Lako mi je sad kritizirati. I ja sam svojedobno bio pobornik ovakvog pristupa. Uzbudljivo je... za mlade ljude koji su strastveni prema matematici. To sam, naravno, bio (i, pažnje radi, ja).

No dosta digresije, prijeđimo na posao: predavanje koje je “teoretski” bilo namijenjeno studentima druge godine Veleučilišta i bilo bi suho kao kokosove pahuljice da nije bilo nje. malo pretjerujem...

Dobro jutro za vas. Današnja tema je djelomično čišćenje. Ne, ovo nije nagovještaj nemarnog čišćenja. Najbolja usporedba bila bi razmisliti što je bolje: juha od rajčice ili kremasti kolač. Odgovor je jasan: ovisno o čemu. Za desert - kolačići, a za hranjivo jelo: juha.

U matematici se bavimo brojevima. Oni su poredani: oni su veći i manji, ali od dva različita broja, jedan je uvijek manji, što znači da je drugi veći. Poredane su po redu, poput slova u abecedi. U razrednom dnevniku redoslijed može biti sljedeći: Adamchik, Baginskaya, Khoinitsky, Derkovsky, Elget, Filipov, Gzhechnik, Kholnitsky (oni su prijatelji i kolege iz mog razreda!). Također ne sumnjamo da je Matusyak "Matushelyansky" Matushevsky "Matisyak. Simbol za "dvostruku nejednakost" ima značenje "prije".

U mom putničkom klubu nastojimo popise napraviti po abecednom redu, ali po imenu, na primjer, Alina Wrońska "Warvara Kaczarska", Cesar Bouschitz itd. U službenim zapisima redoslijed bi bio obrnut. Matematičari abecedni red nazivaju leksikografskim (leksikon je više-manje sličan rječniku). S druge strane, takav redoslijed, u kojem se u nazivu koji se sastoji od dva dijela (Michal Shurek, Alina Wronska, Stanislav Smazhinsky) prvo gledamo na drugi dio, antileksikografski je red za matematičare. Dugi naslovi, ali vrlo jednostavan sadržaj.

1. Linearni redoslijed: kolodvori i stajališta na pruzi Habovka-Zakopane od Podhale, izgrađena 1899. (dešifriranje kratica prepuštam čitatelju).

Svi takvi nalozi nazivaju se linijskim nalozima. Redamo redom: prvo, drugo, treće. Sve je u redu, od prve do zadnje točke. To nema uvijek smisla. Uostalom, knjige u knjižnici slažemo ne ovako, nego u odjeljke. Samo unutar odjela raspoređujemo linearno (obično abecedno).

2. Linearni redoslijed: pri pokretanju motora automobila radnje izvodimo dosljednim redoslijedom.

Kod većih projekata, pogotovo u timskom radu, više nemamo linearni poredak. Pogledajmo sl. 3. Želimo izgraditi mali hotel. Već imamo novac (ćelija 0). Izrađujemo dozvole, prikupljamo materijal, počinjemo gradnju, a ujedno provodimo reklamnu kampanju, tražimo zaposlenike i tako dalje i tako dalje. Kad dođemo do "10", prvi gosti se mogu prijaviti (primjer iz priča gospodina Dombrowskog i njihovog malog hotela u predgrađu Krakova). Imamo nelinearni poredak – neke stvari se mogu događati paralelno.

U ekonomiji ćete naučiti o konceptu kritičnog puta. Ovo je skup radnji koje se moraju izvoditi sekvencijalno (a to se u matematici zove lanac, više o tome za trenutak), i koje oduzimaju najviše vremena. Smanjenje vremena izgradnje je reorganizacija kritičnog puta. Ali o tome više u drugim predavanjima (podsjećam da čitam “sveučilišno predavanje”). Fokusirani smo na matematiku.

Dijagrami poput slike 3 nazivaju se Hasseovi dijagrami (Helmut Hasse, njemački matematičar, 1898–1979). Svaki složeni napor mora biti planiran na ovaj način. Vidimo slijed radnji: 1-5-8-10, 2-6-8, 3-6, 4-7-9-10. Matematičari ih nazivaju strunama. Cijela ideja sastoji se od četiri lanca. Nasuprot tome, skupine aktivnosti 1-2-3-4, 5-6-7 i 8-9 su antilanci. Evo kako se zovu. Činjenica je da u određenoj skupini niti jedna radnja ne ovisi o prethodnoj.

4. Ovo je također Hasseov dijagram.

pojdem slika 4. Što je impresivno? Ali to bi mogla biti karta metroa u nekom gradu! Podzemne pruge su uvijek grupirane u pruge - ne prelaze s jedne na drugu. Linije su odvojene linije. U gradu Fig. 4 je pećnica redak (zapamtite to pećnica napisano je "boldem" - na poljskom se zove poludebeo).

Na ovom dijagramu (slika 4) nalazi se kratki žuti ABF, ACFPS sa šest stanica, zeleni ADGL, plavi DGMRT i najduži crveni. Matematičar će reći: ovaj Hasseov dijagram ima pećnica lanci. Na crvenoj je liniji sedam stanica: AEINRUW. Što je s antilancima? Tu su oni sedam. Čitatelj je već primijetio da sam tu riječ dvaput podvukao sedam.

Antilanac ovo je toliki skup stanica da je nemoguće doći od jedne do druge bez presjedanja. Kad se malo "razumijemo", vidjet ćemo sljedeće antilance: A, BCLTV, DE, FGHJ, KMN, PU, ​​SR. Provjerite, na primjer, nije moguće putovati s bilo koje BCLTV postaje na drugu BCTLV bez presjedanja, točnije: bez potrebe da se vratite na dolje prikazanu postaju. Koliko ima antilanaca? sedam. Koja je veličina najveća? Peći (opet podebljano).

Možete zamisliti, studenti, da podudarnost ovih brojeva nije slučajna. Ovaj. To je otkrio i dokazao (tj. uvijek tako) 1950. Robert Palmer Dilworth (1914–1993, američki matematičar). Broj redova potrebnih za pokrivanje cijelog skupa jednak je veličini najvećeg antilanca, i obrnuto: broj antilanaca jednak je duljini najduljeg antilanca. To je uvijek slučaj u djelomično uređenom skupu, t.j. onaj koji se može vizualizirati. Hassego dijagram. Ovo nije sasvim stroga i ispravna definicija. To je ono što matematičari nazivaju "radnom definicijom". Ovo se donekle razlikuje od "radne definicije". Ovo je savjet kako razumjeti djelomično uređene skupove. Ovo je važan dio svakog treninga: pogledajte kako radi.

Engleska skraćenica je - ova riječ zvuči lijepo na slavenskim jezicima, pomalo kao čičak. Imajte na umu da je čičak također razgranat.

Jako lijepo, ali kome treba? Vama, dragi studenti, potreban je za polaganje ispita, a to je vjerojatno dovoljno dobar razlog da ga učite. Slušam, kakva pitanja? Slušam, gospodine ispod prozora. Oh, pitanje je hoće li ovo ikada biti od koristi Gospodinu u vašem životu? Možda ne, ali za nekoga pametnijeg od vas, sigurno... Možda za analizu kritičnog puta u složenom gospodarskom projektu?

Ovaj tekst pišem sredinom lipnja, na Sveučilištu u Varšavi traju izbori rektora. Pročitao sam nekoliko komentara korisnika interneta. Postoji iznenađujuća količina mržnje (ili “mržnje”) prema “obrazovanim ljudima”. Netko je otvoreno napisao da fakultetski obrazovani znaju manje od fakultetski obrazovanih. Naravno, neću ulaziti u raspravu. Žao mi je samo što se u Poljskoj vraća ustaljeno mišljenje da se sve može čekićem i dlijetom. Vraćam se matematici.

Dillworthov teorem ima nekoliko zanimljivih upotreba. Jedan od njih je poznat kao teorem o braku.sl. 6). 

Tu je grupa žena (radije djevojaka) i nešto veća grupa muškaraca. Svaka djevojka misli otprilike ovako: "Mogla bih se udati za ovog, za drugoga, ali nikad u životu za trećeg." I tako dalje, svatko ima svoje preferencije. Nacrtamo dijagram koji do svakog od njih vodi strelicu od tipa kojeg ne odbacuje kao kandidata za oltar. P: Mogu li se parovi spojiti tako da svaki pronađe muža kojeg prihvaća?

Teorem Philipa Halla, kaže da se to može učiniti - pod određenim uvjetima, o kojima ovdje neću raspravljati (onda na sljedećem predavanju, molim studente). Imajte na umu, međutim, da se muško zadovoljstvo ovdje uopće ne spominje. Kao što znate, žene su te koje biraju nas, a ne obrnuto, kako nam se čini (podsjećam da sam autorica, a ne autorica).

Malo ozbiljne matematike. Kako Hallov teorem slijedi iz Dilwortha? Vrlo je jednostavno. Pogledajmo ponovno sliku 6. Lanci su tamo vrlo kratki: imaju duljinu 2 (teku u smjeru). Skup čovječuljaka je antilanac (upravo zato što su strelice samo prema). Dakle, cijelu kolekciju možete pokriti s onoliko antilanaca koliko ima muškaraca. Tako će svaka žena imati strijelu. A to znači da može izgledati kao tip kojeg prihvaća!!!

Čekaj, pita netko, je li to sve? Je li to sve aplikacija? Hormoni će se već nekako snaći i čemu matematika? Prvo, ovo nije cijela aplikacija, već samo jedna iz velike serije. Pogledajmo jednu od njih. Neka (slika 6) ne znači predstavnice boljeg spola, već prozaične kupce, a to su marke, na primjer, automobila, perilica rublja, proizvoda za mršavljenje, ponuda putničkih agencija itd. Svaki kupac ima marke koje prihvaća i odbija. Može li se nešto napraviti da se svima nešto proda i kako? Ovdje ne prestaje samo šala, već i znanje autora članka na ovu temu. Sve što znam je da se analiza temelji na prilično složenoj matematici.

Podučavanje matematike u školi je podučavanje algoritama. Ovo je važan dio učenja. Ali polako idemo prema podučavanju ne toliko matematike koliko matematičke metode. Današnje predavanje je bilo upravo o ovome: govorimo o apstraktnim mentalnim konstrukcijama, razmišljamo o svakodnevnom životu. Riječ je o lancima i antilancima u skupovima s inverznim, tranzitivnim i drugim relacijama koje koristimo u modelima prodavač-kupac. Računalo će umjesto nas obaviti sve izračune. Neće još stvarati matematičke modele. I dalje pobjeđujemo svojim razmišljanjem. U svakom slučaju, nadamo se što duže!