Geometrijske staze i šikare
Dok sam pisao ovaj članak, sjetio sam se vrlo stare pjesme Jana Pietrzaka, koju je pjevao prije svoje satirične aktivnosti u kabareu Pod Egidą, priznatom u Narodnoj Republici Poljskoj kao sigurnosni ventil; moglo bi se iskreno smijati paradoksima sustava. U ovoj pjesmi autor je preporučio socijalističko političko sudjelovanje, ismijavajući one koji žele biti apolitični i gaseći radio u novinama. "Bolje je vratiti se školskom čitanju", ironično je pjevao tada XNUMX-godišnji Petshak.
Vraćam se školskoj lektiri. Ponovno čitam (ne prvi put) knjigu Shchepana Yelenskog (1881-1949) “Lylavati”. Malom broju čitatelja sama riječ nešto govori. Ovo je ime kćeri poznatog hinduističkog matematičara poznatog kao Bhaskara (1114-1185), po imenu Akaria, ili mudraca koji je tim imenom naslovio svoju knjigu o algebri. Lilavati je kasnije i sama postala poznata matematičarka i filozofkinja. Prema drugim izvorima, upravo je ona sama napisala knjigu.
Szczepan Yelensky dao je isti naslov svojoj knjizi o matematici (prvo izdanje, 1926.). Možda je čak teško ovu knjigu nazvati matematičkim djelom - bila je to više skup zagonetki, i uglavnom prepisana iz francuskih izvora (autorska prava u modernom smislu nisu postojala). U svakom slučaju, dugi niz godina to je bila jedina popularna poljska knjiga o matematici - kasnije joj je pridodana druga knjiga Jelenskog, Pitagorine slastice. Tako da mladi ljudi zainteresirani za matematiku (a to sam i ja nekad bio) nisu imali što birati...
s druge strane, "Lilavati" se moralo znati gotovo napamet... Ah, bila su vremena... Njihova najveća prednost bila je što sam tada bio... tinejdžer. Danas, iz kuta obrazovanog matematičara, Lilavati gledam na sasvim drugačiji način - možda kao penjač na zavojima staze za Shpiglasova Pshelench. Ni jedno ni drugo ne gubi svoju draž ... U svom karakterističnom stilu, Ščepan Jelenski, koji u svom osobnom životu ispovijeda takozvane nacionalne ideje, piše u predgovoru:
Ne dotičući se opisa nacionalnih karakteristika, reći ću da ni nakon devedeset godina riječi Yelenskog o matematici nisu izgubile na važnosti. Matematika vas uči razmišljati. To je činjenica. Možemo li vas naučiti razmišljati drugačije, jednostavnije i ljepše? Može biti. Samo... još uvijek ne možemo. Objašnjavam svojim učenicima koji ne žele matematiku da im je to i test inteligencije. Ako ne možete naučiti stvarno jednostavnu teoriju matematike, onda... možda su vaše mentalne sposobnosti gore nego što bismo oboje htjeli...?
Znakovi u pijesku
I evo prve priče u "Lylavati" - priči koju je opisao francuski filozof Joseph de Maistre (1753.-1821.).
Mornar s razbijenog broda valovi su bacili na praznu obalu koju je smatrao nenaseljenom. Odjednom je u obalnom pijesku ugledao trag geometrijskog lika nacrtanog ispred nekoga. Tada je shvatio da otok nije pust!
Citirajući de Mestrija, Yelensky piše: geometrijski likbio bi to nijem izraz za nesretnog, brodolomca, slučajnost, ali on mu je na prvi pogled pokazao proporciju i broj, a to je najavljivalo prosvijećenog čovjeka. Toliko o povijesti.
Imajte na umu da će mornar izazvati istu reakciju, na primjer, crtanjem slova K, ... i bilo kojih drugih tragova prisutnosti osobe. Ovdje je geometrija idealizirana.
Međutim, astronom Camille Flammarion (1847-1925) predložio je da se civilizacije pozdravljaju iz daljine koristeći geometriju. U tome je vidio jedini ispravan i mogući pokušaj komunikacije. Pokažimo takvim Marsovcima pitagorejske trokute... oni će nam odgovoriti s Thalesom, mi ćemo njima odgovoriti Vieta uzorcima, njihov će se krug uklopiti u trokut, pa je počelo prijateljstvo...
Književnici poput Julesa Vernea i Stanislava Lema vratili su se toj ideji. A 1972. godine pločice s geometrijskim (i ne samo) uzorcima postavljene su na sondi Pioneer, koja još uvijek prelazi prostranstva svemira, sada skoro 140 astronomskih jedinica od nas (1 I je prosječna udaljenost Zemlje od Zemlje) . Sunce, tj. oko 149 milijuna km). Pločicu je djelomično dizajnirao astronom Frank Drake, tvorac kontroverznog pravila o broju izvanzemaljskih civilizacija.
Geometrija je nevjerojatna. Svi znamo opće stajalište o podrijetlu ove znanosti. Mi (mi ljudi) smo tek počeli mjeriti zemlju (a kasnije i zemlju) u najkorisnije svrhe. Određivanje udaljenosti, crtanje ravnih linija, označavanje pravih kutova i izračunavanje volumena postupno su postali nužnost. Otuda cijela stvar geometrija ("Mjerenje zemlje"), dakle sva matematika ...
Međutim, neko vrijeme nas je ta jasna slika povijesti znanosti zamaglila. Jer da je matematika potrebna samo u operativne svrhe, ne bismo se bavili dokazivanjem jednostavnih teorema. “Vidiš da bi to uopće trebalo biti točno”, rekao bi netko nakon provjere da je u nekoliko pravokutnih trokuta zbroj kvadrata hipotenuze jednak kvadratu hipotenuze. Čemu takav formalizam?
Pita od šljiva mora biti ukusna, računalni program mora raditi, stroj mora raditi. Ako sam trideset puta izbrojao kapacitet bačve i sve je u redu, zašto inače?
U međuvremenu je starim Grcima palo na pamet da treba pronaći neke formalne dokaze.
Dakle, matematika počinje s Talesom (625.-547. pr. Kr.). Pretpostavlja se da se upravo Milet počeo pitati zašto. Pametnim ljudima nije dovoljno što su nešto vidjeli, što su se u nešto uvjerili. Vidjeli su potrebu za dokazom, logičnim slijedom argumenata od pretpostavke do teze.
Htjeli su i više. Vjerojatno je Thales prvi pokušao objasniti fizičke pojave na naturalistički način, bez božanske intervencije. Europska filozofija započela je s filozofijom prirode – s onim što već stoji iza fizike (otuda naziv: metafizika). No, temelje europske ontologije i prirodne filozofije postavili su Pitagorejci (Pitagora, oko 580.-c. 500. pr. Kr.).
Osnovao je vlastitu školu u Crotoneu na jugu Apeninskog poluotoka – danas bismo to nazvali sektom. Znanost (u sadašnjem smislu riječi), misticizam, religija i fantazija usko su isprepleteni. Thomas Mann je u romanu Doktor Faustus vrlo lijepo prikazao nastavu matematike u njemačkoj gimnaziji. Preveli Maria Kuretskaya i Witold Virpsha, ovaj fragment glasi:
U zanimljivoj knjizi Charlesa van Dorena, Povijest znanja od praskozorja povijesti do danas, pronašao sam vrlo zanimljivo gledište. U jednom od poglavlja autor opisuje značaj pitagorejske škole. Oduševio me sam naslov poglavlja. Piše: "Izum matematike: Pitagorejci".
Često raspravljamo o tome da li se matematičke teorije otkrivaju (npr. nepoznate zemlje) ili izmišljaju (npr. strojevi koji prije nisu postojali). Neki kreativni matematičari sebe vide kao istraživače, drugi kao izumitelje ili dizajnere, rjeđe kontradiktore.
Ali autor ove knjige piše o izumu matematike općenito.
Od pretjerivanja do zablude
Nakon ovog dugog uvodnog dijela, prijeći ću na sam početak. geometrijada opiše kako pretjerano oslanjanje na geometriju može dovesti znanstvenika u zabludu. Johannes Kepler poznat je u fizici i astronomiji kao otkrivač tri zakona gibanja nebeskih tijela. Prvo, svaki planet u Sunčevom sustavu kreće se oko Sunca po eliptičnoj orbiti, u čijem je jednom od žarišta sunce. Drugo, u pravilnim razmacima vodeća zraka planeta, povučena od Sunca, crta jednaka polja. Treće, omjer kvadrata razdoblja okretanja planeta oko Sunca i kocke velike poluosi njegove orbite (tj. prosječne udaljenosti od Sunca) je konstantan za sve planete u Sunčevom sustavu.
Možda je to bio treći zakon – za njegovo utvrđivanje bilo je potrebno mnogo podataka i proračuna, što je Keplera potaknulo da nastavi tražiti obrasce u kretanju i položaju planeta. Povijest njegovog novog "otkrića" vrlo je poučna. Od antike smo se divili ne samo pravilnim poliedrima, već i argumentima koji pokazuju da ih u svemiru ima samo pet. Trodimenzionalni poliedar naziva se pravilnim ako su mu lica identični pravilni mnogokuti i svaki vrh ima isti broj bridova. Ilustrativno, svaki kut pravilnog poliedra trebao bi "izgledati isto". Najpoznatiji poliedar je kocka. Svi su vidjeli običan gležanj.
Pravilni tetraedar je manje poznat, a u školi se naziva pravilnom trokutastom piramidom. Izgleda kao piramida. Preostala tri pravilna poliedra manje su poznata. Oktaedar nastaje kada spojimo središta bridova kocke. Dodekaedar i ikosaedar već izgledaju kao lopte. Izrađene od mekane kože, bile bi udobne za kopanje. Obrazloženje da ne postoje pravilni poliedri osim pet Platonovih tijela vrlo je dobro. Prvo, shvaćamo da ako je tijelo pravilno, onda isti broj (neka q) identičnih pravilnih poligona mora konvergirati na svakom vrhu, neka su to p-kutovi. Sada se moramo sjetiti koliki je kut u pravilnom poligonu. Ako se netko ne sjeća iz škole, podsjećamo vas kako pronaći pravi uzorak. Proletjeli smo iza ugla. Kod svakog vrha skrećemo pod istim kutom a. Kada obiđemo poligon i vratimo se na početnu točku, napravili smo p takvih zaokreta, a ukupno smo se okrenuli za 360 stupnjeva.
Ali α je komplement kuta koji želimo izračunati od 180 stupnjeva i stoga je
Pronašli smo formulu za kut (matematičar bi rekao: mjere kuta) pravilnog mnogokuta. Provjerimo: u trokutu p = 3 nema a
Kao ovo. Kada je p = 4 (kvadrat), onda
stupnjeva je također u redu.
Što dobivamo za pentagon? Dakle, što se događa kada postoji q poligona, a svaki p ima iste kutove
stupnjeva silaznih na jednom vrhu? Da je na ravnini, tada bi nastao kut
stupnjeva i ne može biti više od 360 stupnjeva – jer se tada poligoni preklapaju.
Međutim, budući da se ovi poligoni susreću u prostoru, kut mora biti manji od punog kuta.
A evo i nejednakosti iz koje sve proizlazi:
Podijelite ga sa 180, pomnožite oba dijela s p, redom (p-2) (q-2) < 4. Što slijedi? Budimo svjesni da p i q moraju biti prirodni brojevi i da su p > 2 (zašto? A što je p?) i također q > 2. Ne postoji mnogo načina da umnožak dva prirodna broja bude manji od 4. Mi navest ću ih sve u tablici 1.
Ne postavljam crteže, te figure svatko može vidjeti na internetu... Na internetu... Neću odbiti lirsku digresiju - možda bude zanimljivo mladim čitateljima. Godine 1970. govorio sam na seminaru. Tema je bila teška. Imao sam malo vremena za pripremu, sjedio sam navečer. Glavni članak bio je samo za čitanje na mjestu. Mjesto je bilo ugodno, s radnom atmosferom, dobro, zatvaralo se u sedam. Tada se mlada (sada moja žena) sama ponudila da prepiše cijeli članak za mene: desetak ispisanih stranica. Prepisao sam (ne, ne perom, imali smo čak i pera), predavanje je uspjelo. Danas sam pokušao pronaći ovu publikaciju, koja je već stara. Sjećam se samo imena autora... Dugo su trajale pretrage po internetu... punih petnaest minuta. Razmišljam o tome sa smiješkom i pomalo neopravdanim žaljenjem.
Vraćamo se na Kepler i geometrija. Očigledno je Platon predvidio postojanje petog pravilnog oblika jer mu je nedostajalo nešto što ujedinjuje, što pokriva cijeli svijet. Možda je zato i uputio studenta (Theajtet) da je potraži. Kako je bilo, tako je bilo, na temelju čega je otkriven dodekaedar. Taj Platonov stav nazivamo panteizmom. Svi su znanstvenici, do Newtona, u većoj ili manjoj mjeri podlegli tome. Od vrlo racionalnog osamnaestog stoljeća njegov utjecaj drastično je opao, iako se ne trebamo sramiti činjenice da mu svi na ovaj ili onaj način podlegnemo.
U Keplerovom konceptu izgradnje Sunčevog sustava sve je bilo točno, eksperimentalni podaci su se poklopili s teorijom, teorija je bila logički koherentna, vrlo lijepa...ali potpuno lažna. U njegovo vrijeme bilo je poznato samo šest planeta: Merkur, Venera, Zemlja, Mars, Jupiter i Saturn. Zašto postoji samo šest planeta? upitao je Kepler. A koja pravilnost određuje njihovu udaljenost od Sunca? Pretpostavljao je da je sve povezano, da geometrije i kozmogonije usko su međusobno povezani. Iz spisa starih Grka znao je da postoji samo pet pravilnih poliedara. Vidio je da postoji pet praznina između šest orbita. Dakle, možda svaki od ovih slobodnih prostora odgovara nekom pravilnom poliedru?
Nakon nekoliko godina promatranja i teoretskog rada stvorio je sljedeću teoriju, uz pomoć koje je prilično precizno izračunao dimenzije orbita, koju je predstavio u knjizi "Mysterium Cosmographicum", objavljenoj 1596.: Zamislite divovsku kuglu, čiji je promjer promjer orbite Merkura u njegovom godišnjem kretanju oko Sunca. Zatim zamislite da se na ovoj kugli nalazi pravilan oktaedar, na njoj kugla, na njoj ikosaedar, na njoj opet kugla, na njoj dodekaedar, na njoj druga kugla, na njoj tetraedar, pa opet kugla, kocka i, konačno, na ovoj kocki je opisana lopta.
Kepler je zaključio da su promjeri ovih uzastopnih sfera bili promjeri orbita drugih planeta: Merkura, Venere, Zemlje, Marsa, Jupitera i Saturna. Teorija se činila vrlo točnom. Nažalost, to se poklopilo s eksperimentalnim podacima. A koji je bolji dokaz ispravnosti matematičke teorije od njezine korespondencije s eksperimentalnim podacima ili podacima promatranja, posebno "skinutim s neba"? Sažeo sam ove izračune u tablici 2. Dakle, što je Kepler učinio? Pokušavao sam i pokušavao sve dok nije uspjelo, odnosno kada su se konfiguracija (redoslijed sfera) i rezultirajući izračuni poklopili s podacima promatranja. Evo modernih Keplerovih brojki i izračuna:
Može se podleći fascinaciji teorije i vjerovati da su mjerenja na nebu netočna, a ne proračuni napravljeni u tišini radionice. Nažalost, danas znamo da postoji najmanje devet planeta i da su sve slučajnosti rezultata samo slučajnost. Šteta. Bilo je tako lijepo...
