Podijelite na pola - trokute i kvadrate

Stigla nam je nova godina, 2019. Ovo nije prost broj. Zbroj znamenki je 2 + 0 + 1 + 9 = 12, što znači da je broj djeljiv s 3. Prosti broj će morati dugo čekati, do 2027. godine. Ipak, vrlo malo čitatelja ove epizode će živjeti u dvadeset i drugom stoljeću. Ali takvi su svakako na ovom svijetu, pogotovo ljepši spol. Ljubomoran sam? Ne baš... Ali moram pisati o matematici. U posljednje vrijeme sve više pišem o osnovnom obrazovanju.

Može li se krug podijeliti na dvije jednake polovice? Definitivno. Kako se zovu dijelovi koje ćete dobiti? Da, pola kruga. Prilikom dijeljenja kruga jednom crtom (jedan rez), je li potrebno povući liniju kroz središte kruga? Da. Ili možda ne? Zapamtite da je ovo jedan rez, jedna ravna linija.

Jeste li uvjereni da svi ravna crta koja prolazi središtem kružnice dijeli ih na jednake dijelove? Jeste li uvjereni da ga morate povući kroz središte da biste podijelili krug na jednake dijelove jedne ravne linije?

Opravdaj svoju vjeru. A što znači "opravdati"? Matematički dokaz se razlikuje od "dokaza" u pravnom smislu. Odvjetnik mora uvjeriti suca i tako prisiliti Vrhovni sud da utvrdi da je klijent nevin. Za mene je oduvijek bilo neprihvatljivo: koliko o elokvenciji “papagaja” (tako malo omalovažavajuće karakteriziramo odvjetnika) ovisi sudbina optuženika.

Za matematičara samo vjera nije dovoljna. Dokaz mora biti formalan, a teza mora biti posljednja formula u logičkom nizu od pretpostavke. Ovo je prilično složen koncept, koji je gotovo nemoguće provesti u svakodnevnom životu.

Možda je bolje ovako: tužbe i presude temeljene na "matematičkoj logici" bile bi samo ... bezdušne. Navodno, to se događa sve češće. Ali ja samo želim oh.

Čak i formalni dokaz jednostavnih stvari može uzrokovati poteškoće. Kako dokazati oba ova uvjerenja o podjeli kruga? Prvo što je lakše svaka ravna crta koja prolazi kroz središte dijeli krug na dva jednaka dijela.

Možemo reći ovo: zarotirajmo lik na slici 1 za 180 stupnjeva. Tada će zelena kutija postati plava, a plava će postati zelena. Stoga moraju imati jednake kvadrate. Ako povučete crtu ne kroz središte, tada će jedno od polja biti jasno manje.

Trokuti i kvadrati

Pa idemo dalje kvadrat. Imamo li isto kao:

1. svaki pravac koji prolazi središtem kvadrata dijeli ga na dva jednaka dijela?
2. Ako ravna linija dijeli kvadrat na dva jednaka dijela, treba li prolaziti središtem kvadrata?

Jesmo li sigurni u ovo? Situacija je drugačija nego kod kotača (2-7).

pojdem jednakostraničan trokut. Kako ga prepolovite? Jednostavno - samo odrežite vrh i okomito na bazu (8).

Podsjećam vas da baza trokuta može biti bilo koja njegova stranica, čak i nagnuta. Rez prolazi središtem trokuta. Seče li ga bilo koji pravac koji prolazi središtem trokuta?

Ne! Vidi sl. 9. Svaki od trokuta u boji ima istu površinu (zašto?), tako da vrh velikog trokuta ima četiri, a dno pet. Omjer polja nije 1:1, već 4:5.

Što ako bazu podijelimo na, recimo, četiri dijela i dijelimo jednakostranični trokut prerezati kroz središte i kroz točku u četvrtini baze? Čitaoče, možete li vidjeti da je na slici 10 površina "tirkiznog" trokuta 9/20 površine cijelog trokuta? Ne vidiš? Šteta, to prepuštam vama da odlučite.

Prvo pitanje - objasni kako je to: Podijelim bazu na četiri jednaka dijela, povučem ravnu crtu kroz točku dijeljenja i središte trokuta, a na suprotnoj strani dobijem čudnu razdjelnicu, u omjeru 2:3? Zašto? možeš li to izračunati?

Ili ste možda Vi, Čitaoče, ove godine maturant? Ako je odgovor da, onda odredite na kojoj je poziciji redaka omjer polja minimalan? Ti ne znaš? Ne kažem da biste to trebali popraviti odmah. Dajem ti dva sata.

Ako to ne riješiš, onda... pa, sretno u završnici srednje škole. Vratit ću se na ovu temu.

Probudite neovisnost

- Možete li se iznenaditi? Naziv je to knjige koju je davno objavio časopis Delta, matematički, fizički i astronomski mjesečnik. Pogledajte svijet oko sebe. Zašto postoje rijeke s pješčanim dnom (uostalom, vodu treba odmah apsorbirati!).

Zašto oblaci lebde zrakom? Zašto avion leti? (treba odmah pasti). Zašto je ponekad toplije u planinama na vrhovima nego u dolinama? Zašto je sunce na sjeveru u podne na južnoj hemisferi? Zašto je zbroj kvadrata hipotenuze jednak kvadratu hipotenuze? Zašto se čini da tijelo gubi na težini kada je uronjeno u vodu, budući da istiskuje vodu?

Pitanja, pitanja, pitanja. Nisu svi odmah primjenjivi na svakodnevni život, ali prije ili kasnije bit će. Shvaćate li važnost posljednjeg pitanja (o vodi istisnutoj potopljenim tijelom)? Shvativši to, stariji gospodin trčao je gol po gradu i vikao: "Eureka, našao sam!" On ne samo da je otkrio fizički zakon, već je i dokazao da je draguljar kralja Herona krivotvoritelj!!! Pogledajte detalje u dubinama interneta.

Pogledajmo sada druge oblike.

Šesterokut (11-14). Seče li ga bilo koji pravac koji prolazi kroz njegovo središte? Treba li linija koja prepolovi šesterokut proći kroz njegovo središte?

Što o tome peterokut (15, 16)? osmerokut (17)? I za elipse (18)?

Jedan od nedostataka školske znanosti je što poučavamo „u devetnaestom stoljeću“ – dajemo učenicima problem i očekujemo da ga riješe. Što je loše u tome? Ništa - osim što će za nekoliko godina naš učenik morati ne samo odgovarati na naredbe koje je od nekoga "primio", već i vidjeti probleme, formulirati zadatke, kretati se u području do kojeg još nitko nije stigao.

Toliko sam star da sanjam o takvoj stabilnosti: "Uči, Johne, napravi cipele, pa ćeš raditi kao postolar do kraja života." Obrazovanje kao prijelaz u najvišu kastu. Interes do kraja života.

Ali ja sam toliko „moderna“ da znam da svoje učenike moram pripremati za zanimanja koja ... još ne postoje. Najbolje što mogu i mogu učiniti je pokazati studentima: HOĆETE LI PROMIJENITI SEBE? Čak i na razini elementarne matematike.

Vidi također: